Contoh Soal dan Pembahasan Operasi Aljabar Pada Vektor

Utakatikotak ~ Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah. 

Vektor dapat dituliskan dalam huruf kecil dan besar, atau dengan dua huruf seperti berikut :

Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah, yaitu panjang panah menunjukkan nilai atau besarnya vektor dan arah anak panah menunjukkan arah vektor.

Penjumlahan vektor

Jika a=(a₁, a₂) dan b=(b₁, b₂). Maka a + b didefinisikan

a + b = (a₁+b₁, a₂+b)

Sifat-sifat vektor

a.      Komutatif

a + b = b + a

b.      Assosiatif

a + ( b + c) =  (a + b) + c

c.      Memiliki elemen satuan atau elemen identitas

a + 0 = 0 + a = a

d.      Memiliki elemen inverse

a + (-a) = (-a) + a = 0

e.      Distributive dengan perkalian skalar

K(a + b) = ka + kb , dengan k= skalar

 

Baca juga : 

Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal

Vektor Posisi, Penyajian Vektor, dan Panjang Vektor

 

3.      Hasil kali titik

Didefinisikan jika vektor a=(a₁, a₂, a₃) dan b=(b₁, b₂, b₃), maka hasil kali titik dari a dan b adalah:

Bilangan atau scalar a.b yang diberikan oleh:

a.b= a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

sifat-sifat hasilkali titik:

a.      a.a= |a|²

b.      a.b = b.a

c.      a.(b + c) = a.b + ac

 Rumus Perbandingan, Perkalian Skalar Proyeksi dan Perkalian Silang Vektor 
a. Perkalian Skalar 
 
b. Cross Product 

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan :

1. Diketahui vektor a = 8 i + 6 j dan vektor b = 3 i - 9 j , Tentukan : 

a. 1/2 a + b

b. 1/2 a - b

Jawab =

a. 1/2 a + b = 1/2 ( 8 i + 6 j ) + ( 3 i - 9 j )

                   =  ( 4 i + 3 j ) + ( 3 i - 9 j )

                   =  ( 4 i + 3 i ) + ( 3 j - 9 j )

                   =  7 i - 6 j

b. 1/2 a - b = 1/2 ( 8 i + 6 j ) - ( 3 i - 9 j )

                   =  ( 4 i + 3 j ) - ( 3 i - 9 j )

                   =  ( 4 i - 3 i ) + ( 3 j + 9 j )

                   =  i + 12 j

 

2. Diketahui vektor a = 2 i - 3 j dan vektor b = -4 i - j , dan vektor c = - i + 2 j Tentukan vektor- vektor berikut nyatakan hasilnya dalam vektor - vektor basis i dan j :

a. a - b + c

b. a + 2 b - c

Jawab :

a. a - b + c = ( 2 i - 3 j ) - ( -4 i - j ) + ( - i + 2 j )

                  = ( 2 i + 4 i - i - 3 j + j + 2  j )

                  = - i

b. a + 2 b - c = ( 2 i - 3 j ) + 2 ( -4 i - j ) - ( - i + 2 j )

                     = ( 2 i - 3 j ) + ( - 8 i - 2 j ) - ( - i + 2 j )

                     = ( 2 i - 8 i + i - 3 j - 2 j - 2 j )

                     = 9 i - 3 j 

3. Diketahui Vektor a = i + 3 j - 2 k  dan vektor b =  4 i - 2 j + 4 k. Hitunglah

a. |a|, |b|, dan a.b

b. Tentukan besar sudut antara vektor a dengan vektor b.

Jawab : 

a.  |a| = √(1² + 3² + (-2)²)

            ⁼ √(1 + 9 + 4)

          = √(14)

    |b| = √(4² + (-2)² + 4²)

            ⁼ √(16 + 4 + 16)

          = √(36)

          = 6 

   a.b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

           _{= ( 1 . 4 ) + ( 3 . (-2)) + ( (-2)  . 4)}

           _{= 4 - 6 - 8}

           _{= -10}

_b.   a.b = |a||b| cos α

    - 10 =  √(14) . 6 . cos α

    cos α = - 10 / 6√(14)

           α = 63,5

Baca juga : 

Vektor : Contoh Soal dan Pembahasannya

Apa itu Besaran Skalar dan Besaran Vektor ?