Bilangan Berpangkat n Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan

Taukah kamu apa yang di maksud dengan bilangan berpangkat? Mungkin kamu tau tapi lupa untuk menjelaskan kembali materi bilangan berpangkat itu.
Pada bangku sekolah tentunya kita telah diajarkan oleh guru kita tentang materi operasi bilangan, salah satunya adalah bilangan berpangkat. Yang dimaksud dengan bilangan berpangkat adalah salah satu operasi bilangan yang cukup banyak si gunakan, salah satunya adalah untuk menghitung jumlah penduduk dari suatu daerah dan beberapa kegunaan bilangan berpangkat lainnya.

Pengertian Bilangan Berpangkat

Pengertian bilangan berpangkat adalah salah satu operasi bilangan yang berfungsi untuk dapat menyederhanakan penulisan dan juga penyebutan dari suatu bilangan yang mempunyai faktor faktor perkalian yang sama.

Bilangan yang memiliki pangkat di dalam matematika terdiri dari beberapa bilangan, misalnya bilangan dengan pangkat bulat negatif (bilangan asli), bilangan bulat negatif, pangkat nol, pangkat rasional dan juga pangkat riil. Notasi pangkat yang digunakan untuk dapat menuliskan hasil kali dari suatu bilangan secara berulang menjadi bentuk yang lebih sederhana lagi.

Seperti misalnya pada contoh berikut: 3x3x3x3x3=…atau 7x7x7x7x=… dan lain sebagainya. Perkalian bilangan dengan menggunakan faktor yang sama misalnya seperti bilangan tersebut yang merupakan perkalian secara berulang.
Apabila perkalian bilangan tersebut tidak disederhanakan, maka kita akan lebih sulit untuk menuliskannya karena angka yang terlibat karena terlalu banyak untuk satu kali bilangan perkalian tersebut.

Cara Membaca Bilangan Berpangkat

Setiap perkalian berulang akan dapat disederhanakan menjadi lebih ringkas lagi dengan menggunakan notasi angka bilangan berpangkat.

Seperti misalnya 3x3x3x3x3 dengan menggunakan bilangan berpangkat dapat di sederhanakan menjadi 3⁵. Dan apabila angkanyang digunakan adalah 5x5x5x5x5x5x5x5 maka dapat disederhanakan menjadi 5⁸.

Cara membaca bilangan berpangkat yang telah disederhanakan adalah:
 

3⁵ : Tiga pangkat lima

5⁸ : Lima pangkat delapan
Rumus Bilangan Berpangkat
 

Maka pelru juga kita mengetahui Rumus bilangan berpangkat adalah aⁿ = a × a × a × … × a sebanyak n.

a = bilangan yang dipangkatkan (bilangan pokok)

n = pangkat (eksponen) dengan n adalah bilangan bulat positif

Jenis-Jenis Bilangan Berpangkat

Seperti pada penjelasan sebelumnya bahwa terdapat beberapa jenis bilangan yang memiliki pangkat di dalam matematika. Secara umum bilangan yang memiliki pangkat terbagi menjadi 3 jenis.

Antara lain yaitu bilangan berpangkat positif (+), bilangan berpangkat negatif (-), dan bilangan berpangkat nol (0). Di bawah ini merupakan jenis bilangan berpangkat:
 

1. Bilangan Berpangkat Positif

Pengertian bilangan berpangkat positif adalah suatu bilangan yang memiliki pangkat atau eksponen positif. Maksud dari eksponen positif itu sendiri adalah penyebutan lain dari pangkat. Jenis bilangan berpangkat positif memiliki beberapa sifat tertentu.

Bilangan berpangkat positifdiantaranya terdiri dari a, b, sebagai bilangan real dan juga m, n yang merupakan bilangan buat positif. Terdapat beberapa sifat yang dimiliki oleh bilangan berpangkat positif diantaranya yaitu:

1. a x aⁿ = a^m+ⁿ
2. a^m : aⁿ = am-ⁿ , untuk m>n dan b ≠ 0
3. (a^m)ⁿ = a^mⁿ
4. (ab)^m = a^m b^m
5. (a/b)^m = a^m/b^m , untuk b ≠ 0

Bilangan Berpangkat Negatif

Kemudian yang kedua dari jenis bilangan berpangkat adalah bilangan berpangkat negatif yang merupakan bilangan yang memiliki pangkat atau eksponen negatif (-). terdapat beberapa sifat yang dimiliki oleh bilangan berpangkat negatif, diantaranya adalah sebagai berikut:

Apabila a∈R, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat negatif (-), maka:

a-ⁿ = 1/aⁿ atau aⁿ = 1/ a-ⁿ

Bilangan Berpangkat Nol (0)

Di dalam ilmu matematika terdapat dua jenis bilangan berpangkat nol. Untuk sifat dari bilangan berpangkat nol (0) adalah “apabila a adalah bilangan riil dan a tidak sama dengan nol (0), maka a⁰ = 1”.

Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

Setelah kita mengetahui penjelasan dan jenis-jenis yang di miliki oleh bilangan berpangkat di atas. Selanjutnya kita mengetahui sifat-sifat yang dimiliki oleh bilangan berpangkat, yang menjadi ciri khas yang dimiliki oleh bilangan berpangkat. Beberapa sifat-sifat yang dimiliki bilangan berpangkat diantaranya adalah:

1. Pangkat Bulat Positif

Bentuk pangkat bulat positif terdapat contoh a yang merupakan bilangan real serta n yang merupakan bilangan bulat positif. Notasi dari aⁿ akan memberikan pernyataan dari hasil kali pada bilangan a sebanyak n faktor. Maka dapat dituliskan menjadi seperti berikut:

aⁿ = a × a × a × … × a

Dari penulisan diatas artinya adalah a × a × a × … × a merupakan n faktor.

Keterangan:

a = bilangan yang dipangkatkan (bilangan pokok)

n = pangkat

Kesimpulan:

• Jika n merupakan suatu variabel dari eksponen a, maka kita harus perhatikan semesta variabel tersebut. Karena aⁿ = a x a x …x a sesuai dengan banyak n faktor, dan ini hanya berlaku pada saat semesta n ∈N.
• Pada pangkat bulat positif apabila nilai dari a¹ kita cukup menulisnya menjadi a saja.
• Tidak semua a⁰ dengan a bilangan real adalah menyatakan 1. Ketika a = 0 dan juga n = 0, sehingga aⁿ= 0⁰, sehingga di dapatkan hasil yang tidak tentu.

Berikut ini merupakan contoh soal pada penjelasan di atas agar kamu dapat lebih memahami materi yang disampaikan secara lebih mendalam.

1. 3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
2. 2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
3. 4 ³ = 4 x 4 x 4 = 64

2. Pangkat Bulat Negatif

Pada pangkat bulat negatif untuk a bilangan real dan juga a ≠ 0, m bilangan bulat positif, sehingga dapat di definisikan menjadi seperti berikut ini:

a^-m = (1/a)^m

3. Pangkat Nol

Pangkat Nol adalah a bilangan real dan juga a ≠ 0, sehingga a⁰ = 1. Pada pangkat nol bilangan a tidak boleh sama dengan nol, karena pada saat a = 0 maka a⁰ = 0⁰, sehingga di dapatkan hasil yang tidak tentu.

Berikut ini merupakan contoh soal pada penjelasan di atas agar kaju dapat lebih memahami materi yang disampaikan secara lebih mendalam.

1. 4⁰ = 1
2. 5⁰ = 1

4. Sifat Pangkat Bilangan Bukat Positif

Terdapat beberapa sifat-sifat yang dimiliki oleh bilangan pangkat bukat positif, diantaranya adalah seperti yang akan di jelaskan berikut ini:

Sifat 1

Jika a merupakan bilangan real, m Dan juga n bilangan positif maka

a^m × aⁿ = a^m+n

Sifat yang telah dijelaskan di atas hanya berlaku jika a adalah bilangan, dan m serta n adalah bilangan bulat positif. Jika m dan n bukan merupakan bilangan bulat positif bulat positif, maka sifat 1 tidak akan berlaku berlaku. Misalnya a = 0 , m = n = 0 tidak berlaku.

Contoh:

3² x 3³ = (3 x 3) x ( 3 x 3 x 3) = 243

= 3⁵

3² x 3³ = 3²⁺³

Sifat 2

Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n merupakan bilangan bulat positif, sehingga pada sifat 2 tidak diperbolehkan apabila nilai dari a = 0, karena bentuk perpangkatan pada sifat 2 adalah bentuk rasional. Apabila am atau aⁿ maka kemungkinan hasilnya adalah 0. Dan apabila hasil am dan aⁿ adalah 0 maka hasil bagi tidak menentu. Jika a^m ≠ 0 dan aⁿ ≠ 0 maka hasil baginya tak terdifinisikan.

Contoh:

3⁵/3² = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 / 3 x 3 = 9

= 3³

= 3⁵^–³

Sifat 3

Untuk sifat ketiga apabila a bilangan real dan juga a ≠ 0, dan m serta n adalah bilangan bulat positif, maka (a^m)n = a^mn

Contoh:

(4²)³ = (4²) x (4²) x (4²)

= (4 x 4) x (4 x 4 ) x (4 x 4)

= 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4

= 4⁶

5. Pangkat Pecahan

Untuk pengertian dari pecahan berpangkat dapat di contohkan dengan a adalah bilangan real dan a ≠ 0, serta m adalah bilangan bulat positif, sehingga a¹^/m = p adalah bilangan real positif, maka p^m = a.

Contoh a adalah bikangan real dan a ≠ 0, m, n merupakan bilangan bulat positif. Maka dapat di definisikan menjadi seperti berikut ini:

a^m/ⁿ = (a¹/ⁿ)^m

Operasi Bilangan Berpangkat

Kita telah memahami jenis-jenisnya, maka perlu juga kita memahami operasi bilangan berpangkat sebagai berikut.

• Perkalian bilangan berpangkat bilangan pokoknya sama, apakah 6 pangkat tersebut akan dijumlahkan.
• Bilangan negatif dipangkatkan dengan pangkat yang ganjil, maka akan menghasilkan bilangan negatif (-).
• Bilangan negatif yang dipangkatkan dengan pangkat genap maka akan menghasilkan suatu bilangan yang positif (+).
• Pembagian bilangan berpangkat yang merupakan bilangan pokoknya sama, maka pangkat dari bilangan tersebut akan digunakan.
• Apabila terdapat bilangan berpangkat yang dipangkatkan lagi, makan pada bilangan tersebut akan dikalikan.

Operasi Hitung Bilangan Berpangkat

Setelah sebelumnya kita telah mengetahui pembahasan pada bilangan berpangkat muaki dari pengertian, sifat dan jenis bilangan berpangkat.

Selanjutnya kita perlu tahu bagaiman cara menghitung bilangan berpangkat atau operasi hitung bilangan berpangkat yang meliputi sifat perkalian, pembagian, perpangkatan, dan diberikan pula contoh soal beserta pembahasan.

1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

Di dalam operasi hitung perkalian pada bilangan berpangkat terdapat sifat atau rumus yang digunakan untuk dapat menentukan hasil perkalian bilangan berpangkat tersebut dengan menggunakan rumus seperti berikut ini:

a^m x aⁿ = a^m+ⁿ

Contoh:

2² x 2³ = (2 x 2 x 2) x (2 x 2)

= 2 x 2 x 2 x 2 x 2

= 2⁵

Jadi dari bilangan 2² x 2³ akan di sederhanakan menjadi bilangan 2⁵

Contoh Soal:

1. 4³ x 4²

Pembahasan:

4³ x 4² = 4³+² = 4⁵ = 1.024

Perlu kamu ketahui bahwa tidak selamanya bilangan berpangkat tersebut hasilnya akan selalu positif. Apabila terdapat bilangan negatif dengan pangkat genap maka hasilnya positif, dan apabila terdapat bilangan negatif dengan pangkat ganjil maka hasilnya negatif.

2. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

Di dalam operasi hitung pada pembagian bilangan berpangkat, akan berlaku rumus untuk dapat menentukan hasil yang lebih sederhana lagi denga menggunakan sifat seperti berikut ini:

a^m : aⁿ = a^m-ⁿ

Contoh :

3⁸ : 3⁴ = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3) : (3 x 3 x 3 x 3)

= 3³^–⁴

= 3⁴

Contoh Soal:

1. 3⁴/4²

Pembahasan:

3⁴/4² = 3⁴-² = 3² = 9 (karena nilai pangkat atau eksponen sama dengan a, maka si coret keduanya)

3. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Pada operasi hitung perpangkatan bilangan berpangkat terdapat rumus yang bisa digunakan untuk menentukan hasil dari suatu bilangan dengan menggunakan sifat yang berlaku seperti berikut ini:

(a^m)ⁿ = a^mxⁿ

Contoh:

(3²)³ = (3 x 3)³

= (3 x 3) x (3 x 3) x (3 x 3)

= 3⁶ (3²x³)

Contoh Soal:

1. [(-8)⁴]²

Pembahasan:

[(-8)²]² = (-8)²×² = (-8)⁴ = 4.096

4. Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian Dua Bilangan

Di dalam operasi hitung perpangkatan suatu pembagian dua bilangan terdapat rumus yang dapat digunakan untuk menentukan hasil dari suatu bilangan dengan menggunakan sifat yang berlaku seperti berikut ini:

(a : b)^m = a^m : b^m

Contoh:

(2/4)² = (2/4) x (2/4)

(2/4)² = (2 x 2)/(4 x 4)

(2/4)² = 2²/4²

Contoh Soal:

1. [(−5)/2]²

Pembahasan:

[(−5)/2]² = (−5)²/2² = −10/4

5. Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian Dua Bilangan

Di dalam operasi hitung perpangkatan suatu perkalian dua bilangan terdapat rumus yang dapat digunakan untuk menentukan hasil dari suatu bilangan dengan menggunakan sifat yang seperti berikut ini:

(a x b)^m = a^m x b^m

Contoh:

(5 x 2)² = (5 x 2) x (5 x 2)

(5 x 2)² =(5 x 5) x (2 x 2)

(5 x 2)² = 5² x 2²

Contoh Soal:

1. [(1/3) x (1/6)]³

Pembahasan:

[(1/3) x (1/6)]³  = (1/3)³ x (1/6)³

= (1/27) x (1/216)

= 1/5832

6. Sifat Perpangkatan Bilangan Nol

Jika a adalah bilangan real (a ∈ R) dan juga n adalah bilangan bulat positif (n ≥ 1), maka sifat-sifat yang dimiliki oleh perpangkatan bilangan nol (0) adalah seperti berikut ini:

1. a⁰ = 1
2. 0ⁿ =
3. 0⁰ = Tidak terdifinisikan

Contoh sifat no. 1:

8³/8³ = 8³-³ = 8⁰

Contoh sifat no. 2:

0¹ = 0 × 0 = 0

0² = 0 × 0 × 0 = 0

0³ = 0 × 0 × 0 × 0 = 0

Demikian pembahasan tentang bilangan berpangkat pada materi pelajaran matematika. Semoga pembahasan yang telah diberikan di atas dapat mudah dipahami dan dapat bermanfaat.