Barisan dan Deret Aritmatika Beserta Contoh Soal

A. Barisan Aritmatika

Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu, contoh 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ….. . Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan U_n

Rumus suku ke-n Barisan Aritmatika

Oke pertama-tama kita akan bahas rumus suku ke n dari barisan aritmatika. Seperti kita ketahui, barisan aritmatika ini adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan. Berikut ini rumus suku ke-n barisan aritmatika.

Un = a + ( n – 1 ) b

Simbol U_n di sini mewakilkan suku ke-n, sementara simbol a adalah suku pertama atau awal dari barisan aritmatika. Simbol b ini adalah selisih dari nilai suku-suku yang berdekatan. Untuk lebih jelasnya kalian simak contoh berikut ini yah!

Contoh soal mencari rumus suku ke-n Barisan Aritmatika

1. Rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 2,8,14,20... rumus suku ke-n adalah

Pembahasan:

* Mencari nilai a dan b terlebih dahulu

a = 2
b = n₂ - n₁ = 8 - 2 = 6

* Masukkan ke dalam rumus Un

Un = a + ( n – 1 ) b
Un = 2 + ( n – 1 ) 6
Un = 2 + 6n - 6
Un = 6n - 4

Berapakah nilai suku ke-15?

Un = 6n - 4
Un = 6 (15) - 4
Un = 90 - 4
Un = 86

2. Dalam gedung pertunjukkan disusun kursidengan baris paling depan terdiri 14 buah, baris kedua berisi 16 buah, baris ketiga 18 buah dan seterusnya selalu bertambah 2. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah .

Jawaban: 

Diketahui :

• Banyak kursi baris paling depan (a) = 14 buah
• Banyak kursi baris kedua dan ketiga (U₂ dan U₃) = 16 dan 18
• Selisih tiap baris (b) = 2

Ditanya :

Banyaknya kursi pada baris ke-20

Penyelesaian :

Menentukan banyak kursi pada baris ke-20

Un = a + (n - 1) b

U₂₀ = 14 + (20 - 1) 2

      = 14 + 19 (2)

      = 14 + 38

      = 52

Jadi banyak kursi pada baris ke-20 adalah 52 kursi

B. Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + …. + U_(n-1)

atau sebagai:

S_n = a + (a + b) + (a + 2b) + …. + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)

Rumus Jumlah suku n pertama Deret Aritmatika

Deret aritmatika untuk n suku pertama dapat dinotasikan dengan huruf S_n serta mempunyai rumus sebagai berikut.

S_n = n/2(a + u_n)

ataupun

S_n = n/2 (2a + (n – 1)b)

Simbol S_n di sini mewakilkan jumlah suku ke-n, sementara simbol a adalah suku pertama atau awal dari barisan aritmatika. Simbol b ini adalah selisih dari nilai suku-suku yang berdekatan.

Contoh soal mencari jumlah suku ke-n Deret Aritmatika

Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika 2,8,14,20... adalah

Pembahasan:

* Mencari nilai a dan b terlebih dahulu

a = 2
b = n₂ - n₁ = 8 - 2 = 6

* Masukkan ke dalam rumus suku ke-10

S_n = n/2 (2a + (n – 1) b)
S₁₀ = 10/2 (2.2 + (10 – 1) 6)
S₁₀ = 5 (4 + (9. 6))
S₁₀ = 5 (4 + 54)
S₁₀ = 5 . 58
S₁₀ = 290

Contoh Soal

Jumlah 10 suku pertama deret 690 dan jumlah 20 suku pertama adalah 2580, suku pertama dan beda deret tersebut adalah

Pembahasan:

Mencari rumus deret dari kedua jumlah

S_n = n/2 (2a + (n – 1) b)
690 = 10/2 (2a + 9b)
690 = 5 (2a + 9b)
690 = 10a + 45b ..........................(Persamaan 1)

S_n = n/2 (2a + (n – 1) b)
2580 = 20/2 (2a + 19b)
2580 = 10 (2a + 19b)
2580 = 20a + 190b ..........................(Persamaan 2)

* Mencari nilai a dan b dari persamaan 1 dan 2 dengan menggunakan cara eliminasi atau substitusi

10a + 45b = 690      --> kali 2 untuk menyamakan nilai 10a menjadi 20a
20a + 190b = 2.580
___________________
20a + 90b = 1.380
20a + 190b = 2.580
___________________-

Eliminasi a
-100b = -1.200
b = 12

*Substitusikan nilai b kedalam salah satu persamaan
10a + 45 (12) = 690
10a + 540 = 690
10a = 150
a = 15

Jadi didapatkan nilai suku pertama (a) = 15 dan beda (b) = 12