Home » Kongkow » Materi » Grafik Persamaan Fungsi Trigonometri

Grafik Persamaan Fungsi Trigonometri

- Rabu, 15 September 2021 | 08:00 WIB

Fungsi f dengan wilayah R dikatakan periodik apabila ada bilangan $p \ne 0$ , sedemikian sehingga $f(x+p) = f(x)$ , dengan $x \epsilon R$ . Bilangan positif p terkecil yang memenuhi $f(x+p) = f(x)$ disebut periode dasar fungsi f.

Jika fungsi f periodik dengan periode dasar p, maka periode-periode dari fungsi f adalah $n \times p$ , dengan n adalah bilangan asli. Jika f dan g adalah fungsi yang periodik dengan periode p, maka $f+g$ dan fg juga periodik dengan periode p.

1. Periode fungsi sinus dan kosinus

Untuk penambahan panjang busur $a$ dengan kelipatan $2\pi$ (satu putran penuh) akan diperoleh titik p(a) yang sama, sehingga secara umum berlaku :

$\sin (a+k \times 2\pi) = \sin a$ dengan k∈B atau
$\sin (a+k\times 360^{\circ}) = \sin a^{\circ}$ dengan k∈B
$\cos (a+k\times 2\pi)$ dengan k∈B atau
$\cos (a+ k\times 360^{\circ})$ dengan k∈B

Dengan demikian, fungsi sinus $f(x) = \sin x$ vatau $f(x) = \sin x^{\circ}$ dan fungsi kosinus $f(x) = cos x$ atau $f(x) = cos x^{\circ}$ adalah fungsi periodik dengan periode dasar $2\pi$ atau $360^{\circ}$ .

2. Periode fungsi tangen

Untuk penambahan panjang busur $a$ dengan kelipatan $\pi$ (setengah putran penuh) akan diperoleh titik $p(a+k\times p)$ yang nilai tangennya sama untuk kedua sudut tersebut, sehingga secara umum $\tan (a + k \times \pi) = \tan a$ dengan $k \epsilon B$ atau $\tan (a+k\times 1806{\circ}) = \tan a^{\circ}$ dengan $k \epsilon B$ .

Dengan demikian tangen $f(x) = \tan x$ atau $f(x) = \tan^{\circ}$ adalah fungsi periodik dengan periode $\pi$ atau $180^{\circ}$ .

Grafik Fungsi Trigonometri

Dengan td adalah tidak didefinisikan. Untuk memudahkan, maka lihatlah segitiga berikut :

Dari konsep segitiga tersebut diperoleh nilai setiap sudut $30^{\circ}, 45^{\circ}$ dan $60^{\circ}$ . Untuk sudut $0^{\circ}$ dan $90^{\circ}$ diperoleh dengan cara berikut :

Didapat :

$\sin a = \frac{y}{r}$
$cos a = \frac{x}{r}$
$\tan a = \frac{y}{x}$

Jika titik $P(x,y)$ bergerak mendekati sumbu X positif, akhirnya berimpit dengan sumbu X, maka x=r, y=0, $x = r,y = 0$ dan $a^{\circ} =0^{\circ}$ , sehingga

$\sin 0^{\circ} = \frac{0}{r} = 0$
$\cos 0^{\circ} = \frac{r}{r} = 1$
$\tan 0^{\circ} = \frac{0}{r} = 0$

Jika titik P(x,y) $P(x,y)$ bergerak mendekati sumbu Y positif, akhirnya berimpit dengan sumbu Y, maka

$x =0,y = r$ , dan $a^{\circ} = 90^{\circ}$ , sehingga

$\sin 90^{\circ} = \frac{r}{r} = 1$
$\cos 0^{\circ} = \frac{0}{r} = 0$
tan⁡ $\tan 0^{\circ} = \frac{r}{0}$ = tidak didefinisikan

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

Untuk setiap titik P(x,y) $P(x,y)$ pada fungsi trigonometri memiliki hubungan :

$-r \le x \le r$ dan $-r \le y \le r$
$-1 \le \frac{x}{r} \le 1$ dan $-1 \le \frac{y}{r} \le 1$
$-1 \le \cos a \le 1$ dan $-1 \le \sin a \le 1$

Berdasarkan uraian tersebut dapat dikemukakan bahwa :

Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus

Fungsi sinus $y =f(x) = \sin x$ memiliki nilai maksimum $y_{maks} = 1$ yang dicapai untuk $x =\frac{1}{2}\pi + k \times 2\pi$ dengan $k \epsilon B$ dan nilai minimum $y_{min} = -1$ yang dicapai untuk $x = \frac{3}{2}\pi + k \times 2\pi$ dengan $k \epsilon B$ .
Fungsi sinus $y = f(x) = \sin x^{\circ}$ memiliki nilai maksimum $y_{maks} = 1$ yang dicapai untuk $x = 90^{\circ} + k \times 360^{\circ}$ dengan $k \epsilon B$ dan nilai minimum $y_{maks} = -1$ yang dicapai untuk $x = 270^{\circ} + k \times 360^{\circ}$ dengan $k \epsilon B$ .

Nilai maksimum dan minimum fungsi kosinus

Fungsi kosinus $y = f(x) = \cos x$ memiliki nilai maksimum $y_{maks} = 1$ yang dicapai untuk $x =k \times 2\pi$ dengan $k \epsilon B$ dan nilai minimum $y_{min} = -1$ yang dicapai untuk $x = \pi + k \times 2\pi$ dengan $k \epsilon B$ .
Fungsi kosinus $y = f(x) = \cos x^{\circ}$ memiliki nilai maksimum $y_{maks} = 1$ yang dicapai untuk $x = k \times 360^{\circ}$ dengan $k \epsilon B$ dan nilai minimum $y_{min} = -1$ yang dicapai untuk $x = 180^{\circ} + k \times 360^{\circ}$ dengan $k \epsilon B$ .

Secara umum dapat dikemukakan bahwa :

Jika fungsi sinus $y = f(x) = a \sin (bx + c) + d$ , maka nilai maksimumnya $y_{maks} = \mid a\mid + d$ dan nilai minimumnya $y_{min} = -\mid a\mid + d$
Jika fungsi kosinus $y = f(x) = a \cos (bx + c) + d$ , maka nilai maksimumnya $y_{maks} = \mid a\mid + d$ dan nilai minimumnya $y_{min} = -\mid a\mid + d$
Jika $y = f(x)$ adalah fungsi periodik dengan nilai maksimum $y_{maks}$ dan minimum $y_{min}$ , maka amplitudonya adalah :

Jenis Grafik Fungsi Trigonometri

1. Grafik fungsi baku $f(x) = \sin x$ ; $f(x) = \cos x$ ; dan $f(x) = \tan x$

Sinus

Cosinus

Tangen

2. Grafik fungsi $f(x) = a\sin x$ ; $f(x) = a\cos x$ ; dan $f(x) = a\tan x$

Didapat dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat setiap titik pada grafik baku dengan bilangan a, sedangkan absisnya tetap. Periode grafik tetap $2\pi$ untuk kosinus dan sinus. Sedangankan periode tangen $\pi$ .

Sinus

Misalkan $a = 2$ , maka grafiknya :

Kosinus

Misalkan $a = 2$ , maka grafiknya

Tangen

Misalkan $a = 2$ , maka grafiknya

3. Grafik fungsi $f(x) = a\sin kx$ ; $f(x) = a\cos kx$ ; dan $f(x) = a\tan kx$

Didapat dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan ordinat setiap titik pada grafik baku dengan bilangan a, sedangkan periode grafik sinus dan kosinus menjadi :

$\frac{2\pi}{\mid k\mid}$

Dan tangen

$\frac{\pi}{\mid k\mid}$

Sinus

Misalkan $a = 1$ dan $k = 2$ , maka grafiknya

Kosinus

Misalkan $a = 1$ dan $k = 2$ , maka grafiknya

Tangen

Misalkan a=1 $a = 1$ dan k=3 $k = 3$ , maka grafiknya

Jika fungsi kosinus $y = f(x) = a \cos (bx + c) + d$ , maka nilai maksimumnya $y_{maks} = \mid a\mid + d$ dan nilai minimumnya $y_{min} = -\mid a\mid + d$

Jika $y = f(x)$ adalah fungsi periodik dengan nilai maksimum $y_{maks}$ dan minimum $y_{min}$ , maka amplitudonya adalah :

Sumber : https://www.studiobelajar.com/grafik-fungsi-trigonometri/

Kuis Terkait

Presiden ke 3 Indonesia adalah...

Video Terkait

Cari Artikel Lainnya