Utakatikotak ~ Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah.
Vektor dapat dituliskan dalam huruf kecil dan besar, atau dengan dua huruf seperti berikut :
Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah, yaitu panjang panah menunjukkan nilai atau besarnya vektor dan arah anak panah menunjukkan arah vektor.
Penjumlahan vektor
Jika a=(a1, a2) dan b=(b1, b2). Maka a + b didefinisikan
a + b = (a1+b1, a2+b)
Sifat-sifat vektor
a. Komutatif
a + b = b + a
b. Assosiatif
a + ( b + c) = (a + b) + c
c. Memiliki elemen satuan atau elemen identitas
a + 0 = 0 + a = a
d. Memiliki elemen inverse
a + (-a) = (-a) + a = 0
e. Distributive dengan perkalian skalar
K(a + b) = ka + kb , dengan k= skalar
Baca juga :
Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal
Vektor Posisi, Penyajian Vektor, dan Panjang Vektor
3. Hasil kali titik
Didefinisikan jika vektor a=(a1, a2, a3) dan b=(b1, b2, b3), maka hasil kali titik dari a dan b adalah:
Bilangan atau scalar a.b yang diberikan oleh:
a.b= a1b1 + a2b2 + a3b3
sifat-sifat hasilkali titik:
a. a.a= |a|2
b. a.b = b.a
c. a.(b + c) = a.b + ac
Rumus Perbandingan, Perkalian Skalar Proyeksi dan Perkalian Silang Vektor
a. Perkalian Skalar
b. Cross Product
Contoh Soal dan Pembahasan :
1. Diketahui vektor a = 8 i + 6 j dan vektor b = 3 i - 9 j , Tentukan :
a. 1/2 a + b
b. 1/2 a - b
Jawab =
a. 1/2 a + b = 1/2 ( 8 i + 6 j ) + ( 3 i - 9 j )
= ( 4 i + 3 j ) + ( 3 i - 9 j )
= ( 4 i + 3 i ) + ( 3 j - 9 j )
= 7 i - 6 j
b. 1/2 a - b = 1/2 ( 8 i + 6 j ) - ( 3 i - 9 j )
= ( 4 i + 3 j ) - ( 3 i - 9 j )
= ( 4 i - 3 i ) + ( 3 j + 9 j )
= i + 12 j
2. Diketahui vektor a = 2 i - 3 j dan vektor b = -4 i - j , dan vektor c = - i + 2 j Tentukan vektor- vektor berikut nyatakan hasilnya dalam vektor - vektor basis i dan j :
a. a - b + c
b. a + 2 b - c
Jawab :
a. a - b + c = ( 2 i - 3 j ) - ( -4 i - j ) + ( - i + 2 j )
= ( 2 i + 4 i - i - 3 j + j + 2 j )
= - i
b. a + 2 b - c = ( 2 i - 3 j ) + 2 ( -4 i - j ) - ( - i + 2 j )
= ( 2 i - 3 j ) + ( - 8 i - 2 j ) - ( - i + 2 j )
= ( 2 i - 8 i + i - 3 j - 2 j - 2 j )
= 9 i - 3 j
3. Diketahui Vektor a = i + 3 j - 2 k dan vektor b = 4 i - 2 j + 4 k. Hitunglah
a. |a|, |b|, dan a.b
b. Tentukan besar sudut antara vektor a dengan vektor b.
Jawab :
a. |a| = √(12 + 32 + (-2)2)
= √(1 + 9 + 4)
= √(14)
|b| = √(42 + (-2)2 + 42)
= √(16 + 4 + 16)
= √(36)
= 6
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
= ( 1 . 4 ) + ( 3 . (-2)) + ( (-2) . 4)
= 4 - 6 - 8
= -10
b. a.b = |a||b| cos α
- 10 = √(14) . 6 . cos α
cos α = - 10 / 6√(14)
α = 63,5
Baca juga :