Metode Menghitung Volume Benda Putar

Metode yang dapat kita gunakan untuk menghitung volume benda putar menggunakan integral ada 2, yaitu :

1. Metode Cakram

Berdasarkan rumus Volume = Luas Alas × tinggi
Luas Alas disini selalu berupa lingkaran maka Luas Alas = πr² (dimana r adalah jari-jari putaran)
digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus dengan sumbu putar

alt="Screenshot_6" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_62-300x126.png" style="height:126px; width:300px" />

2. Metode Cincin Silinder

Menurut pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan keliling putaran.
Dikarenakan  keliling lingkaran = 2πr, jika luas bidang yang diputar = A, maka volume = 2πr × A
digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar

Baca Juga :

Persamaan Garis Singgung Kurva

Cara Menghitung Luas Selimut Benda Putar

Agar dapat lebih memahami perhatikan beberapa contoh dibawah ini

alt="Screenshot_7" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_72-300x106.png" style="height:106px; width:300px" />

1. Carilah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = x², sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 jika diputar terhadap sumbu x?

Jawab :

alt="Screenshot_8" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_82-300x186.png" style="height:186px; width:300px" />

Menggunakan metode cakram

alt="Screenshot_9" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_92-300x186.png" style="height:186px; width:300px" />

alt="Screenshot_10" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_102-238x300.png" style="height:300px; width:238px" />

Menggunakan metode cincin silinder

alt="Screenshot_11" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_113-300x186.png" style="height:186px; width:300px" />

alt="Screenshot_12" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_121-282x300.png" style="height:300px; width:282px" />

2. Carilah volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu y?

Jawab :

alt="Screenshot_13" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_131-300x184.png" style="height:184px; width:300px" />

Perpotongan kurva dan garis:

x² = 2x

x² – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 0² = 0

x = 2 → y = 2² = 4

Jadi titik potong kurva dan garis adalah (0, 0) dan (2, 4)

Menggunakan Metode cakram:

alt="Screenshot_14" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_141-300x185.png" style="height:185px; width:300px" />

alt="Screenshot_15" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_151-216x300.png" style="height:300px; width:216px" />

Menggunakan metode cincin silinder:

alt="Screenshot_16" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_161-300x185.png" style="height:185px; width:300px" />

alt="Screenshot_17" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_171-228x300.png" style="height:300px; width:228px" />

3. Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = (y – 2)² dan garis x + y = 4 diputar mengelilingi sumbu y, maka hitunglah volume benda putar yang terjad?

Jawab :

alt="Screenshot_18" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_181-300x185.png" style="height:185px; width:300px" />

Perpotongan kurva dan garis:

x + y = 4 → x = 4 – y

(y – 2)² = 4 – y

y² – 4y + 4 = 4 – y

y² – 4y + 4 – 4 + y = 0

y² – 3y = 0

y(y – 3) = 0

y = 0 atau y = 3

y = 0 → x = 4 – 0 = 4

y = 3 → x = 4 – 3 = 1

Jadi titik potong kurva dan garis (4, 0) dan (1, 3)

Menggunakan metode cakram :

alt="Screenshot_19" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_191-300x188.png" style="height:188px; width:300px" />

alt="Screenshot_20" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_201-256x300.png" style="height:300px; width:256px" />

Menggunakan metode cincin silinder :

alt="Screenshot_21" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_211-300x185.png" style="height:185px; width:300px" />

alt="Screenshot_22" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_221-237x300.png" style="height:300px; width:237px" />

4. Hitunglah volume benda putar yang terjadi oleh daerah yang dibatasi  kurva y = x² dan y = 6x – x² jika diputar mengelilingi garis x = 4?

Jawab :

alt="Screenshot_23" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_23-300x140.png" style="height:140px; width:300px" />

kurva hitam: y = x², kurva merah: y = 6x – x², garis biru: x = 4

Perpotongan kurva dan garis:

x² = 6x – x²

x² + x² – 6x = 0

2x² – 6x = 0

2x(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 3

x = 0 → y = 0² = 0

x = 3 → y = 3² = 9

Menggunakan metode cakram :

alt="Screenshot_24" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_24-300x139.png" style="height:139px; width:300px" />

alt="Screenshot_25" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_25-300x259.png" style="height:259px; width:300px" />

alt="Screenshot_26" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_26-175x300.png" style="height:300px; width:175px" />

Menggunakan metode cincin silinder :

alt="Screenshot_27" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_27-300x140.png" style="height:140px; width:300px" />

alt="Screenshot_28" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_28-258x300.png" style="height:300px; width:258px" />

5. Hitunglah volume benda putar yang terbentuk dari  daerah yang dibatai oleh kurva y = x² dan y = –x² + 4x jika diputar terhadap sumbu x?

Jawab :

alt="Screenshot_29" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_29-300x186.png" style="height:186px; width:300px" />

Kurva merah: y = x², kurva hijau: y = –x² + 4x

Perpotongan kedua kurva:

x² = –x² + 4x

x² + x² – 4x = 0

2x² – 4x = 0

2x(x – 2) = 0

2x = 0 atau x = 2

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 0² = 0

x = 2 → y = 2² = 4

Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4)

Menggunakan metode cakram :

alt="Screenshot_30" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_30-300x187.png" style="height:187px; width:300px" />

alt="Screenshot_31" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_311-229x300.png" style="height:300px; width:229px" />

Menggunakan metode cincin silinder :

alt="Screenshot_32" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_321-300x187.png" style="height:187px; width:300px" />

: alt="Screenshot_32" src="http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/Screenshot_321-300x187.png" style="height:187px; width:300px" />