Kali ini kita akan berbagi tema seputar matematika, kita akan kupas seputar contoh soal induksi matematika. Untuk definisi Induksi Matematika sendiri adalah suatu metode pembuktian yang absah dalam metode Matematika.
Tonton video berikut ini yah
Langkah-langkah Induksi Matematika adalah sebagai berikut:
-
p(n) = 1 adalah benar —> (basis).
-
Misalkan, kita asumsikan p(n) adalah benar —> (induktif).
-
p (n +1), juga harus benar.
Contoh Soal Induksi Matematika 1
Perhatikan tabel berikut ini!
|
Bilangan Genap ke-n |
Penjumlahan Bilangan Genap |
Hasil |
Terkaan |
|
1 |
2 |
2 |
1 x 2 |
|
2 |
2 + 4 |
6 |
2 x 3 |
|
3 |
2 + 4 + 6 |
12 |
3 x 4 |
|
4 |
2 + 4 + 6 + 8 |
20 |
4 x 5 |
|
… |
… |
… |
… |
|
n |
2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n |
… |
n(n + 1) |
Sehingga didapat:
2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = n(n + 1)
Maka Induksi Matematikanya:
1. P (1) = n(n+1)
= 1 (1 + 1)
= 1 . 2
= 2 —> Benar
2. P (n) = n(n + 1)
Misalkan n = 3
P (3) = 3 (3 +1)
= 3 . 4
= 12 —> Benar
3. Untuk P (n + 1)
2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = n(n + 1)
Maka:
2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n + 2n = (n + 1) ((n + 1) + 1)
= (n + 1) (n +2)
Sehingga (gunakan sifat-sifat bilangan):
2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n + 2n = (2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n) + 2n
= n(n + 1) + 2(n + 1)
= (n + 1) (n +2)
Terbukti! Antara ruas kanan dan ruas kiri sama.
Contoh Soal Induksi Matematika 2
Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus
untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
Pembahasan Induksi matematika terdiri dari dua bagian yang berbeda.
-
Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena
-
Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus
bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus Sk + 1 = (k + 1)² benar.
Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
Contoh Soal Induksi Matematika 3
Buktikan dengan induksi matematika 2 + 7 + 12 + 17 + .... + (5n - 3) = (5n² - n / 2) !
Pembahasan:
Induksi ada 3 cara :
⇒ n = 1 = benar
⇒ n = k = diasumsikan benar
⇒ n = k + 1 = benar
1) Langkah 1 (n = 1) :
5n - 3 = (5n² - n / 2)
5(1) - 3 = (5(1)² - 1 / 2)
5 - 3 = 4/2
2 = 2 (benar)
2) Langkah 2 (n = k) :
2 + 7 + 12 + 17 + .... + (5n - 3) = (5n² - n / 2), maka :
2 + 7 + 12 + 17 + .... + (5k - 3) = (5k² - k / 2)
3) Langkah 3 (n = k + 1) :
2 + 7 + 12 + 17 + .... + (5k - 3) + (5(k + 1) - 3) = (5(k + 1)² - (k + 1) / 2)
Karena 2 + 7 + 12 + 17 + .... + (5k - 3) = (5k² - k / 2), maka :
(5k² - k / 2) + (5(k + 1) - 3) = (5(k + 1)² - (k + 1) / 2)
Hilangkan penyebut :
5k² - k + 10(k + 1) - 6 = 5(k + 1)² - (k + 1)
5k² - k + 10k + 10 - 6 = 5(k² + 2k + 1) - (k + 1)
5k² + 9k + 4 = 5k² + 9k + 4
(terbukti)
Matematika pada dasarnya memang adalah latihan soal, semakin banyak kita berlatih mengerjakan soal matematika, maka kita bisa semakin mahir dan cepat dalam menyelesaikan berbagai soal yang diberikan. Tunggu contoh soal matematika lainnya ya. Selamat belajar!