Sudut istimewa merupakan salah satu materi di dalam ilmu matematika yang tidak boleh sampai tertinggal . sudut istimewa ini bisa dikatakan istimewa dengan alasan dapat diukur dengan begitu mudah hanya memakai perbandingan trigonometri saja. tanpa menggunakan kalkulator, sudut istimewa ini dapat dengan mudah diukur. Sudut istimewa merupakan sudut dengan nilai perbandingan trigonometri yang bisa ditentukan nilainya tanpa harus memakai kalkulator. Sudut sudut istimewa antara lain ada 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, dan seterusnya.
Berikut ini adalah nilai perbandingan trigonometri sudut sudut istimewa tersebut. Trigonometri sendiri adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari mengenai hubungan antar sisi dan sudut suatu segitiga dan fungsi dasar yang mencul dari relasi tersebut. Trigonometri adalah nilai perbandingan yang didefinisikan di koordinat kartesius atau segitiga siku siku.
Untuk para siswa trigonometri identic dengan fungsi trigonometri yang terdiri dari sinus ( sin ), cosinus ( cos ), tangen ( tan ), cosecant ( coxec ), secan ( sec ), dan cotangen ( cotan ) yang semuanya adalah cara untuk menentukan suatu sisi sebuah segitiga atau sudut yang bentuknya dari dua buah sisi di dalam sebuah segitiga. Berikut ini adalah gambar tabel dari sudut istimewa sin cos tan.
Tabel Sudut Istimewa Sin Cos Tan
Sudut istimewa trigonometri yaitu sudut mulai 0° hingga 360°, dan di dalam satu putaran penuh terbagi menjadi 4 kuadaran. Jadi di setiap kuadran terbagi menjadi antara sudut 90°. Kuadran tersebut adalah :
- Kuadran I dari 0° hingga 90°
- Kuadran II dari 90° hingga 180°
- Kuadran III dari 180° hingga 270°
- Kuadran IV dari 270° hingga 360°
Berikut ini akan dijelaskan dengan jelas dan rinci tentang sudut sudut tersebut, tapi sebelum ke pembahasan tentang sudut istimewa secara detail, harus dipahami dan diketahui bahwa segitiga terdiri atas tiga sisi yaitu sisi samping, depan dan sisi miring. Sementara ketiga sudut apabila dijumlah harus berjumlah 180°.
Ketiga sisi tersebut memiliki kegunaan yaitu untuk menghitung fungsi trigonometri. Untuk menghitung sin, jadi sisi depan dibagi dengan sisi miring. Untuk menghitung cos, pakai sisi samping dibagi dengan sisi meriaing. Untuk menentukan nilai tan, sisi depan dibagi dengan sisi miring. Sementara untuk menghitung cosec yaiut dengan 1 / cos. Dan yang terakhir yaitu untuk menghitung cot dengan menggunakan rumus 1 / tan.
Tabel Trigonometri Kuadran
Nah berikut ini terdapat beberapa tabel trigonometri beserta penjelasannya, yaitu sebagai berikut :
- Tabel trigonometri kuadran I
|
Sudut |
0º |
30º |
45º |
60º |
90º |
|
Sin |
0 |
1/2 |
1/2 √2 |
1/2 √3 |
1 |
|
Cos |
1 |
1/2 √3 |
1/2 √2 |
1/2 |
0 |
|
Tan |
0 |
1/2 √3 |
1 |
√3 |
∞ |
Sudut istimewa 45°
Untuk mendapatkan 45°, dapat dimulai dari persegi ABCD yang memiliki panjang 1 satuan, dengan membelah diagonalnya, jadi akan didapatkan segitiga siku siku ABC, dengan sudut siku siku di sudut C. karena persegi adalah sebuah sudut siku siku, jadi apabila dibelah diagonalnya akan menajdi sudtu 45°. Agar mengetahui sisi miringnya, hanya butuh memakai rumus phytagoras. Dengan seperti itu, akan didapatkan nilai seperti di bawah ini :
Sudut istimewa 30° dan 60°
Kedua sudut ini akan digabung ke dalam pembahasan karena keduanya adalah sudut berlawanan. Itu berarti bahwa keduanya memiliki hubungan erat di dalam mempengaruhi nilai satu dengan lainnya. Untuk membahas sudut ini, ada baiknya memakai segiti sama sisi ABCD yang memiliki panjang sisi yaitu sepajang 2 satuan. Apabila segitiga itu terbagi jadi 2 satuan. Jika segitiga dibagi menjadi dua lewat garis yang yag dimabil dari tinggi segitiga , jadi akan mendapat segitiga siku siku dengan kedua sudut lain yaitu 60° dan 30 °
Dengan mamakai rumus phytagoras untuk menentukan tiggi segitiga, jadi akan didapatkan tinggi sepanjang
Sementara untuk sudut 30° dengan perhitungannya sama.
Sudut istimewa 0° dan 90°
Sudut terakhir yang dibahas di dalam tabel sudut istimewa yaitu 0 dsan 90. Untuk pembahasan kali ini akan dimuali dari 0° terlebih dahulu.
Apabila = 0, jadu sis depan yaitu 0. Dengan seperti itu, kan didapatkan nilai
Sin 0° = 0
Cos 0° = 1
Tan 0° = 0
Sementara untuk sudut 90° akan didapatkan bahwa isis alas memiiki pajang 0. Dengan seperti ini, jadi akan didapatkan nilai :
Sin 90° = 1
Cos 90° = 1
Tan 90° = –
- Tabel trigonometri kuadran II
|
Sudut |
90º |
120º |
135º |
150º |
180º |
|
Sin |
1 |
1/2 √3 |
1/2 √2 |
1/2 |
0 |
|
Cos |
0 |
– 1/2 |
– 1/2 √2 |
– 1/2 √3 |
-1 |
|
Tan |
∞ |
-√3 |
-1 |
– 1/3 √3 |
0 |
- Tabel trigonometri kuadran III
|
Sudut |
180º |
210º |
225º |
240º |
270º |
|
Sin |
0 |
– 1/2 |
– 1/2 √2 |
– 1/2√3 |
-1 |
|
Cos |
-1 |
– 1/2√3 |
– 1/2√2 |
– 1/2 |
0 |
|
Tan |
0 |
1/3√3 |
1 |
√3 |
∞ |
- Tabel trigonometri kuadran IV
|
Sudut |
270º |
300º |
315º |
330º |
360º |
|
Sin |
-1 |
-½√3 |
-½√2 |
-½ |
0 |
|
Cos |
0 |
½ |
½√2 |
½√3 |
1 |
|
Tan |
∞ |
-√3 |
-1 |
-1/3√3 |
0 |
Di dalam ketetnuan kuadran, kuadran adalah area yang sudah dibagi mejadi 4 bagian. Di dalam lingkaran, rentang sudut yaiut dari 0° samapi 360°, yangmana bagian itu dibagi jadi 4 kuadran. Kuadran 1 yaiut sudut dari o° sampai 90°, kuadaran II yaiut wilayah di atas kuadaran I samapai 180°, kuadran 3 yaitu wilayah di atas kuadran II sampai 270°, dan wilayah kuadaran 4 yaitu diatas kuadaran 3 sampai 360°.
Ketentuan Kuadran dalam Trigonometri
Ketentuan pada setiap kuadran yaitu sebagai berikut :
- Kuadaran I
Kuadran I mempunyai nilai sin, cos, dan tan yang positif.
- Kuadran II
Kuadran II mempunyai nilai sin yang positif, tapi mempunyai nilai cos dan tan yang negative.
- Kuadran III
Kuadran III mempunyai nilai tan yang positif, tapi mempunyai nilai sin dan cos yang negative.
- Kuadran IV
Kuadran IV mempunyai nilai cos yang positif, tapi mempunyai nilai sin dan tan yang negative.
Identitas trigonometri erat hubungannya dengan phytagoras. Phytagoras adalah asal dari identitas trigonometri terbentuk. Lewat fungsi trigonometri, identitas trigonometri juga didapatkan. Kemudian apa yang dimaksud dengan identitas trigonometri?
Identitas trigonometri merupakan persamaan dari fungsi trigonometri yang memiiki nilai benar, terutama untuk setiap sudut dansisi ruas yang terdefinisi. Identitas trigonometri dibagi jadi 3 yakni identitas kebalikan, identitas perbandingan dan identitas phytagoras.
Contoh Soal Sudut Istimewa
Nah setelah mengentahui seluk beluk trigonometri sudut istimewa, supaya lebih paham lagi akan disajikan beberapa contoh soal sudut istimewa, yaitu sebagai berikut ini ;
- Berapa nilai sin 120°
120° = 90 + 30, maka sin 120° bisa dihitung dengan sin 120° = sin ( 90° + 30° ) = cos 30° ( nilainya positif karena soalnya merupakan sin 120°, pada kuadran 2, jadi hasilnya positif )
1/2 √3
- Tentukan lah nilai dari 2 cos 75° cos 15°
Jawab :
2 cos 75° cos 15°= cos ( 75 + 15 )° + xos ( 75 – 15 )°
= cos 90° + xos 60°
= 0 + 1 / 2
= 1 / 2
- Jika diketahui p dan q merupakan sudut lancip dan p – q = 30°. Apabila cos p sin q = 1 / 6, jadi nilai dari sin p cos q =
P – q = 30°
Sin ( p – q ) = sin 30°
Sin p xos q – cos p sin q – 1 / 2
Sin p cos q – 1 / 6 = 1 / 2
Sin p cos q = 1 / 2 + 1 / 6 = 4 / 6
Maka nilai sin p cos q = 4 / 6
- Terdapat segitiga ABC lancip, diketahui cos A – 4 / 5 dan sin B = 12 / 13, jadi sin C =
Jawab :
Karena segita ABC lancip, jadi sudut A, B, dan C juga lancip, jadi :
Cos A – 4 / 5, jadi sin A = 3 / 5, ( Ingat cos, din, dan tan )sin B = 12 / 13, jadi cos B = 5 / 13
A + B + C = 180°, ( jumlah sudut sudut di dalam satu segitiga = 180 )
A + B = 180 – C
Sin ( A + B ) = sin ( 180 – C )
Sin A, cos B + cos A. sin B = sin C, ( ingat sudut yang saling berhubungan : sin ( 180 – x ) = sin x )
Sin C = sin A . cos B + cos A . sin B
Sin C = 3 / 5 . 5 / 13 + 4 / 5 . 12 / 13
Sin C = 15 / 65 + 48 / 65 = 63 / 65
- p dan q merupakan sudut lancip dan p – q = 30°. Apabila cos p sin q = 1 / 6, jadi nilai dari sin p cos q =
P – q = 30°
Sin ( p – q ) = sin 30°
Sin p xos q – cos p sin q – 1 / 2
Sin p cos q – 1 / 6 = 1 / 2
Sin p cos q = 1 / 2 + 1 / 6 = 4 / 6
Maka nilai sin p cos q = 4 / 6