Pengertian Derajat Polinomial
Derajat merupakan pangkat tertinggi dari variabel yang terdapat pada suatu suku banyak. Jika suku banyak ditulis anxn + an-1xn-1+ … + a1x + a0, maka derajat dari suku banyak tersebut adalah n. bagaimanakah derajat suku banyak dari hasil bagi?
Teorema Sisa
Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)
Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1
Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n
- Metode Pembagian Suku Banyak
contoh :
Jika P(x) = 3x3 – 4x2 + kx + 4 habis dibagi (3x + 2), maka nilai k adalah ...
- Pembagian Biasa
Jawab :
Sehingga hasil baginya: H(X) = x2 – 2x + 2, sisanya S(x) = 0
- Cara Horner/skema
cara ini dapat digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1
Cara:
- Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)
Contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)
- Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
- Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
dan seterusnya
Untuk soal di atas,
P(x) = 3x3 – 4x2 + 2x + 4
P1: 3x + 2 = 0 → x = - 2/3
Cara Hornernya:
Jadi untuk S(x) = 0, H(x) = x2 – 2x + 2
Teorema Faktor
Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)
Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
Tips
1. Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0.
Contohnya :untuk x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2untuk 4x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4.
2. Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
3. Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = –1
Baca Juga :
Metode Pembagian Suku Banyak / Polinomial
Perhatikan contoh berikut :
Tentukan penyelesaian dari x3 – 2x2 – x + 2 = 0?
Jawab :
Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, adalah ±1 dan ±2 dan faktor-faktor koefisien pangkat tertingginya, yaitu 1, adalah ±1, sehingga angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2
Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, atau dengan soal sebelumnya seperti di bawah ini
Jadi untuk P(x) = 3x3 – 4x2 + 2x + 4 = ( 3x + 2) (x2 - 2x + 2)
Memiliki satu faktor yaitu = (3x + 2) atau x = - 2/3
Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1/2}
Sifat Akar-Akar Suku Banyak
Pada persamaan berderajat 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3
dengan sifat-sifat:
Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a
Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Dari kesamaan 5x2 – 2x + 14 ≡ Ax2 + (B+C) x + 7 (B–C), maka A + 8B – C = ....
(A) -2
(B) 7
(C) 5
(D) 6
(E) 10
Jawab :
5x2 – 2x + 14 ≡ Ax2 + (B+C) x + 7 (B–C)
Jika kita pecah persamaan diatas berdasarkan sukunya
5x2 = A x2 ==> A = 5
B + C = -2
7 (B – C) = 14
Setelah nilai A diketahui sebesar 5, kemudian cari nilai B dan C
7 (B – C) = 14
(B – C) = 2
B = 2 + C ...................... (pers 1)
B + C = -2
(2 + C) + C = -2 ....................... substitusikan pers 1 atau ganti nilai B dengan (2-C)
2 + 2C = -2
2C = (- 2) – 2
2C = - 4
C = -2
Untuk mencari nilai B Kembali ke pers 1
B = 2 + C
B = 2 + (-2) = 0
# Jadi untuk A + 8B – C = 5 + 8.0 – (- 2)
= 5 + 2 = 7 (B)
2. Suatu suku banyak f(x), jika dibagi (x–2) sisanya 5 dan dibagi (x+3) sisanya -10. Jika f(x) dibagi (x2 + x – 6) sisanya adalah ....
(A) -3x + 11
(B) 3x – 1
(C) 5x – 5
(D) 5x + 15
(E) 10x – 15
Jawab :
· Jika f(x) dibagi (x–2) sisanya 5
Maka = P (2) = 5
· Jika f(x) dibagi (x+3) sisanya -10
Maka = P (-3) = -10
Jika f(x) dibagi (x2 + x – 6) = (x + 3)(x - 2)
P(2) : (x2 + x – 6) = (x + 3) P(2)
= (x + 3) 5
= 5x + 15
P(-3) : (x2 + x – 6) = P(-3) (x – 2)
= (-10) (x – 2)
= -10x + 20
Sehingga, sisa dari (x2 + x – 6) untuk (x - 2) adalah 5x + 15 (D)