Cara Menghitung Median, Modus atau Mode, Kuartil dan Desil

Otakers, salah satu manfaat utama dari ilmu statistika adalah memberikan kemudahan untuk menganalisis banyak data secara cepat. Selain Mean, Median, dan Modus, analisis seringkali didasarkan pada sebaran data (dispersi data) yang meliputi jangkauan, kuartil, desil, dan persentil. Di dalam statistika, jika data sangat banyak dan jangkauan sangat luas biasanya dilakukan pengelompokan data. Namun dalam pembahasan ini hanya akan dibahas analisis data tunggal dengan asumsi bahwa data yang dianalisis tidak banyak. 

Median (Nilai Tengah)

Yang dimaksud median adalah nilai data yang letaknya di tengah dari data yang telah diurutkan dari nilai terkecil sampai nilai terbesar. Biasanya median diberi simbol Me.

a. Cara Menghitung Median dengan Banyaknya Data Ganjil

Pada data yang banyaknya ganjil maka ada satu data di tepat tengah data yang telah diurutkan. Jika banyaknya data ganjil, maka median adalah data yang letaknya tepat di tengah sekumpulan data yang telah diurutkan tersebut .

Misalkan kita akan menghitung median dari 11 data berikut: 21, 27, 23, 25, 21, 28, 24, 27, 26, 25, 21
Urutan data dari yang terkecil: 21, 21, 21, 23, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 28
Median adalah data yang di tengah urutan yaitu 25

b. Cara Menghitung Median dengan Banyaknya Data Genap

Pada data yang banyaknya genap maka ada dua data di tepat tengah data yang telah diurutkan. Jika banyaknya data genap, maka median data adalah rata-rata kedua data yang letaknya tepat di tengah sekumpulan data yang telah diurutkan tersebut .

Misalkan kita akan menghitung median dari 12 data berikut: 24, 33, 47, 60, 30, 24, 25, 35, 49, 41, 52, 58,
Urutan data dari yang terkecil: 24, 24, 25, 30, 33, 35, 41, 47, 49, 52, 58, 60
Median adalah rata-rata dua data di tengah = (35+41)/2 = 76/2 = 38

Modus

Yang dimaksud modus adalah data yang paling sering muncul atau yang memiliki frekuensi terbanyak dari sekumpulan data. Biasanya modus diberi simbol Mo. Cara menentukan modus adalah dengan menghitung frekuensi semua data lalu memilih data yang frekuensi munculnya terbesar.

Misalkan kita akan menghitung modus dari 10 data berikut: 7, 9, 8, 10, 6, 8, 6, 8, 7, 8
Dari data tersebut angka 8 muncul paling sering yaitu empat kali, angka 6 dan 7 muncul dua kali, sedangkan angka 9 dan 10 muncul sekali. Maka modusnya adalah 8.

Jika data yang diperoleh berukuran besar, data perlu dikelompokkan agar penentuan modus mudah dilakukan. Modus dari data yang dikelompokkan dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut.

alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/rumus%20modus%20data%20kelompok(1).jpg" style="height:118px; width:280px" />

dengan,

L = batas bawah nyata (tepi bawah) dari kelas modus

d₁ = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung modus dan frekuensi dari kelas yang mendahuluinya (sebelumnya).

d₂ = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung modus dan frekuensi dari kelas berikutnya

i = interval kelas/panjang kelas.

Perhatikan contoh soal di bawah ini

Tabel berikut menunjukkan hasil ulangan matematika dari 71 siswa Kelas XII SMA Taruna. Tentukan modus dari data tersebut.

Jawaban 

Oleh karena kelas ke-7 mempunyai frekuensi terbesar (frekuensinya 15) maka kelas ke-7 merupakan kelas modus.

i = 44,5 – 39,5 = 5

L = Batas bawah nyata kelas ke-7 = 69,5 (tepi bawah kelas)

d₁ = 15 – 11 = 4

d₂ = 15 – 6 = 9

Jadi perhitungannya sebagai berikut

alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/pembahasan%20contoh%20soal%20modus%20data%20berkelompok(1).jpg" style="height:205px; width:320px" /> 

Jangkauan (Range)

Yang dimaksud jangkauan atau range adalah selisih data terbesar dengan data terkecil dari sekumpulan data. Jangkauan biasanya diberi simbol R. Cara menghitung jangkauan adalah dengan menggunakan rumus menghitung jangkauan dari sejumlah data berikut ini.

jangkauan = data terbesar – data terkecil

Misalkan kita akan menghitung jangkauan dari 8 data berikut: 15, 16, 17, 21, 14, 19, 20, 15.
Berdasarkan data tersebut data terbesar adalah 21, dan data terkecil adalah 14
Jangkauan = data terbesar – data terkecil = 21 – 14 = 7

Kuartil

Yang dimaksud dengan kuartil adalah data yang membagi posisi sekumpulan data yang telah diurutkan menjadi empat bagian. Dalam satu urutan data terdapat 3 kuartil yaitu kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas. Cara menentukan kuartil adalah sebagai berikut.

• Kuartil bawah adalah data pada posisi 1/4 dari kumpulan data yang telah diurutkan. Kuartil bawah disimbolkan dengan Q₁.
• Kuartil tengah adalah data pada posisi 2/4 dari kumpulan data yang telah diurutkan. Kuartil tengah sama dengan median. Kuartil tengah disimbolkan dengan Q₂.
• Kuartil atas adalah data pada posisi 3/4 dari kumpulan data yang telah diurutkan. Kuartil atas disimbolkan dengan Q₃.

Cara menentukan kuartil dibagi menjadi 2 tipe, perhatikan contoh berikut:

a. Kuartil Data Tunggal

Rumus untuk menyelesaikan soal kuartil data tunggal

Posisi Q_i = i(n+1)/4

i = indeks kuartil yaitu 1, 2, 3 dan n = banyaknya data

Misalkan kita akan menentukan kuartil bawah, tengah, dan kuartil atas dari 15 data berikut: 11, 24, 12, 15, 12, 18, 22, 25, 26, 27, 17, 22, 24, 19, 12.

Urutan data dari yang terkecil:
11, 12, 12, 12, 15, 17, 18, 19, 22, 22, 24, 24, 25, 26, 27

Posisi ketiga kuartil adalah sebagai berikut
Posisi Q₁ = 1.(15+1)/4 = (16)/4 = 4 (data urutan ke 4)
Posisi Q₂ = 2. (15+1)/4 = 2(16)/4 = 8 (data urutan ke 4)
Posisi Q₃ = 3. (15+1)/4 = 3(16)/4 = 12 (data urutan ke 4)

Berdasarkan posisi kuartil pada urutan data maka dapat ditentukan ketiga kuartil
11, 12, 12, 12, 15, 17, 18, 19, 22, 22, 24, 24, 25, 26, 27

Jadi
kuartil bawah adalah 12
Kuartil tengah = median = 19
Kuartil atas = 24

Contoh Soal Kuartil Data Tunggal lainnya

Tentukan Q1, Q2 dan Q3 dari data:3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12

Jawaban:

Data yang telah di urutkan: 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12

Letak Q1 adalah 1 (14+1)/4 = 15/4 = 3 ¾

Q1 =X3 + ¾ (X4 – X3)

= 4 + ¾ (4-4) = 4

Letak Q2 adalah 2 (14+1)/4 = 15/2 = 7 ½

Q2 =X7 + ½ (X7 – X6)

= 7 + ½ (7-7) = 7

Letak Q3 adalah 3 (14+1)/4 = 45/4 = 11 ¼

Q3 =X11 + ¼ (X12 – X11) = 8 + ¼ (9-8)

= 8 + ¼ (9-8)

= 8 ¼ atau 8,25

b. Kuartil Data Kelompok

Rumus Kuartil Data Kelompok
alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/rumus%20kuartil%20data%20kelompok(1).jpg" style="height:320px; width:227px" />
Keterangan:
Q = Kuartil
L = Titik bawah
N = Banyak data
i = Kuartil 1, 2, 3
Cf = Frekuensi komulatif – sebelum kelas
f = Frekuensi kelas kuartil
I = Panjang kelas

Contoh Soal Kuartil Data Kelompok
Tentukan kuartil 1 dan 3 dari data table berikut:

Jawaban:
Q1 (kuartil 1)
N = 25
1/4N = ¼ x 25 = 6.25
L = 109 – 0.5 = 108.5
Cf = 2 (Frekuensi Kumulatif)
F = 6
I = 22

Q1 = L + ((1/4N – Cf) x I) : f
      = 108.5 + ((6.25 – 2) x 22) : 6
      = 108.5 + (4.25 x 22) : 6
      = 108.5 + 93.5 : 6
      = 108.5 + 15.58
      = 124.08

Jawaban:
Q3 (kuartil 3)
N = 25
3/4N = 3/4 x 25 = 18.75
L = 153 – 0.5 = 152.5
Cf = 2 + 6 + 10 = 18
F = 4
I = 22
Q3 = L + ((3/4N – Cf) x I) : f
= 152.5 + ((18.75 – 18) x 22) : 4
= 152.5 + (0.75 x 22) : 4
= 152.5 + 16.5 : 4

= 152.5 + 4.125

= 156.625

Jangkauan Antar Kuartil ( Hamparan)
Yang dimaksud jangkauan antar kuartil atau hamparan adalah selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah. Jangkauan antar kuartil diberi simbol H.

H = Q₃ – Q₁

Jangkauan Semi Antar Kuartil (Simpangan Kuartil)
Yang dimaksud semi antar kuartil atau simpangan kuartil adalah setengah dari selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah. Jangkauan semi antar kuartil diberi simbol Qd.

Qd = ½ ( Q₃ – Q₁)

Desil
Yang dimaksud dengan desil adalah data yang membagi posisi sekumpulan data yang telah diurutkan menjadi sepuluh bagian. Dalam satu urutan data terdapat 9 desil, masing masing disebut D₁ sampai D₉.

Letak desil ditentukan dengan rumus berikut.

alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/rumus%20letak%20desil(1).jpg" style="height:72px; width:400px" />

Dalam hal ini i = 1, 2, 3, ..., 9 dan n = banyak data.

Contoh Soal

Tentukan desil ke-1 dan desil ke-5 dari data berikut. 47, 33, 41, 37, 46, 43, 39, 36, 35, 42, 40, 39, 45

Pembahasan

Data setelah diurutkan menjadi 33, 35, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 47.

Banyak data adalah n = 13.

alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/pembahasan%20soal%20desil.png" style="height:259px; width:314px" />

Jadi, desil ke -1 adalah 33,8 dan desil ke-5 adalah 40.

Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi, nilai desil ditentukan sebagai berikut.

alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/rumus%20nilai%20desil%20data%20kelompok(1).jpg" style="height:162px; width:320px" />

Dalam hal ini :

i = 1, 2, 3, ..., 9

(t_b) D_i = tepi bawah kelas D_i

F_i = frekuensi kumulatif sebelum kelas D_i

f_i = frekuensi kelas D_i

p = panjang kelas

Persentil

Yang dimaksud dengan persentil adalah data yang membagi posisi sekumpulan data yang telah diurutkan menjadi seratus bagian. Dalam satu urutan data terdapat 99 persentil, masing masing disebut P₁ sampai P₉₉. Jangkauan persentil dirumuskan sebagai berikut.

Jangkauan persentil = P₉₀ – P₁₀