Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi
a. Determinan Matriks Ordo 2 × 2
Misalkan A =
Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.
det A =
Contoh Soal 1 :
Tentukan determinan matriks-matriks berikut.
Penyelesaian :
b. Determinan Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan)
Jika A =
Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks berordo 3 × 3, yaitu aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.
Aturan Sarrus
Untuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya, kita akan menghitung determinan matriks A3 × 3. Gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut.
Metode Minor-Kofaktor
Misalkan matriks A dituliskan dengan [aij]. Minor elemen aij yang dinotasikan dengan Mij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya, dari matriks A3 × 3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga :
Akan diperoleh M21 =
M13 =
Kofaktor elemen aij, dinotasikan Kij adalah hasil kali (–1)i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan :
Kij = (–1)i+j Mij
Dari matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a21 dan a13 berturut-turut adalah
K21 = (–1)2+1 M21 = –M21 =
K13 = (–1)1+3 M13 = M13 =
Kofaktor dari matriks A3 × 3 adalah kof(A) =
Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan di atas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut.
Misalkan diketahui matriks A =
Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut.
Kita pilih baris pertama sehingga
det A = a11 K11 + a12 K12 + a13 K13
= a11 (–1)1+1 M11 + a12 (–1)1+2 M12 + a13 (–1)1+3 M13
= a11(a22 a33 – a32 a23) – a12(a21 a33 – a31 a23) + a13(a21 a32 – a31 a22)
= a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33
Tampak bahwa det A matriks ordo 3 × 3 yang diselesaikan dengan cara minor kofaktor hasilnya sama dengan det A menggunakan cara Sarrus.
Contoh Soal 2 :
Tentukan determinan dengan aturan Sarrus dan minor-kofaktor matriks berikut.
Penyelesaian :
Cara 1: (Aturan Sarrus)
= (1 × 1 × 2) + (2 × 4 × 3) + (3 × 2 × 1) – (3 × 1 × 3)
– (1 × 4 × 1) – (2 × 2 × 2)
= 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8
= 11
Cara 2: (Minor-kofaktor)
Misalnya kita pilih perhitungan menurut baris pertama sehingga diperoleh :
det A =
= –2 – 2(–8) + 3(–1)
= –2 + 16 – 3 = 11
c. Sifat-Sifat Determinan Matriks
Berikut disajikan beberapa sifat determinan matriks
1. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks itu nol.
Misal :
2. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.
Misal
3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.
Misal
4. |AB| = |A| ×|B|
5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.
6. |A–1| =
7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan di sini. Pembuktian sifat-sifat ini akan kalian pelajari di jenjang yang lebih tinggi.