“MATRIKS”

Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan beberapa bilangan atau huruf dalam bentuk persegi panjang, yang disusun menurut baris dan kolom serta dituliskan di antara tanda kurung.

Jenis-jenis matriks :

1. Matriks baris: hanya terdiri dari satu baris  alt="(A_{1\times n})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28A_%7B1%5Ctimes+n%7D%29&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="(A_{1\times n})" />
2. Matriks kolom: hanya terdiri dari satu kolom  alt="(A_{1\times m})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28A_%7B1%5Ctimes+m%7D%29&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="(A_{1\times m})" />
3. Matriks nol: semua elemennya adalah nol
4. Matriks persegi: jumlah baris dan kolomnya sama  alt="(A_{n\times n})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28A_%7Bn%5Ctimes+n%7D%29&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="(A_{n\times n})" />
5. Matriks diagonal: matriks persegi dimana elemen-elemen pada diagonal utamanya minimal terdapat sebuah elemen yang bukan nol, sedangkan semua elemen di luar diagonal utama adalah nol.
6. Matriks skalar: matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan di luar elemen diagonalnya sama dengan 0
7. Matriks identitas: matriks diagonal dimana semua elemen pada diagonal utama adalah 1
8. Matriks segitiga atas: matriks diagonal dimana elemen-elemen yang berada di atas diagonal utama minimal ada sebuah elemen yang bukan 0, sedangkan semua elemen di bawah diagonal utama adalah 0.
9. Matriks segitiga bawah: matriks diagonal dimana elemen-elemen yang berada di bawah diagonal utama minimal ada sebuah elemen yang bukan 0, sedangkan semua elemen di atas diagonal utama adalah 0.

Matriks Transpose

alt="Jika A = \begin{bmatrix} a_{1} a_{2} a_{3} ... a_{p} \\ b_{1} b_{2} b_{3} ... b_{p} \\ m_{1} m_{2} m_{3} ... m_{p} \end{bmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=Jika+A+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+a_%7B1%7D+a_%7B2%7D+a_%7B3%7D+...+a_%7Bp%7D+%5C%5C+b_%7B1%7D+b_%7B2%7D+b_%7B3%7D+...+b_%7Bp%7D+%5C%5C+m_%7B1%7D+m_%7B2%7D+m_%7B3%7D+...+m_%7Bp%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="Jika A = \begin{bmatrix} a_{1} a_{2} a_{3} ... a_{p} \\ b_{1} b_{2} b_{3} ... b_{p} \\ m_{1} m_{2} m_{3} ... m_{p} \end{bmatrix}" />

maka  alt="A^{T}=\begin{bmatrix} a_{1} b_{1} \cdots m_{1} \\ a_{2} b_{2} \cdots m_{2} \\ a_{3} b_{3} \cdots m_{3} \\ \vdots \vdots \vdots \vdots \\ a_{p} b_{p} \cdots m_{p} \end{bmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%5E%7BT%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+a_%7B1%7D+b_%7B1%7D+%5Ccdots+m_%7B1%7D+%5C%5C+a_%7B2%7D+b_%7B2%7D+%5Ccdots+m_%7B2%7D+%5C%5C+a_%7B3%7D+b_%7B3%7D+%5Ccdots+m_%7B3%7D+%5C%5C+%5Cvdots+%5Cvdots+%5Cvdots+%5Cvdots+%5C%5C+a_%7Bp%7D+b_%7Bp%7D+%5Ccdots+m_%7Bp%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="A^{T}=\begin{bmatrix} a_{1} b_{1} \cdots m_{1} \\ a_{2} b_{2} \cdots m_{2} \\ a_{3} b_{3} \cdots m_{3} \\ \vdots \vdots \vdots \vdots \\ a_{p} b_{p} \cdots m_{p} \end{bmatrix}" />

Matriks A dan B dikatakan sama (A=B) jika dan hanya jika ordo kedua matriks sama dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) juga sama.

Operasi-operasi Aljabar pada Matriks

• Penjumlahan matriks  alt="Jika A = \begin{bmatrix} a_{1} a_{2} \\ a_{3} a_{4} \end{bmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=Jika+A+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+a_%7B1%7D+a_%7B2%7D+%5C%5C+a_%7B3%7D+a_%7B4%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="Jika A = \begin{bmatrix} a_{1} a_{2} \\ a_{3} a_{4} \end{bmatrix}" /> dan  alt="Jika B = \begin{bmatrix} b_{1} b_{2} \\ b_{3} b_{4} \end{bmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=Jika+B+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+b_%7B1%7D+b_%7B2%7D+%5C%5C+b_%7B3%7D+b_%7B4%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="Jika B = \begin{bmatrix} b_{1} b_{2} \\ b_{3} b_{4} \end{bmatrix}" />,  alt="maka A+B = \begin{bmatrix} a_{1}+b_{1} a_{2}+b_{2} \\ a_{3}+b_{3} a_{4}+b_{4} \end{bmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=maka+A%2BB+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+a_%7B1%7D%2Bb_%7B1%7D+a_%7B2%7D%2Bb_%7B2%7D+%5C%5C+a_%7B3%7D%2Bb_%7B3%7D+a_%7B4%7D%2Bb_%7B4%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="maka A+B = \begin{bmatrix} a_{1}+b_{1} a_{2}+b_{2} \\ a_{3}+b_{3} a_{4}+b_{4} \end{bmatrix}" />
• Sifat Penjumlahan matriks

1. Komutatif : A+B=B+A
2. Assosiatif: (A+B)+C=A+(B+C)
3. A+O=O+A=A, O adalah matriks nol.
4. A+B=O, B disebut lawan atau negatif A, ditulis B=-A

• Perkalian matriks dengan bilangan real  alt="Jika A = \begin{bmatrix} a_{1} a_{2} \\ a_{3} a_{4} \end{bmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=Jika+A+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+a_%7B1%7D+a_%7B2%7D+%5C%5C+a_%7B3%7D+a_%7B4%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="Jika A = \begin{bmatrix} a_{1} a_{2} \\ a_{3} a_{4} \end{bmatrix}" /> , maka  alt="kA=\begin{bmatrix} ka kb \\ kc kd \end{bmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=kA%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+ka+kb+%5C%5C+kc+kd+%5Cend%7Bbmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="kA=\begin{bmatrix} ka kb \\ kc kd \end{bmatrix}" />
• Sifat-sifat Perkalian Matriks dengan Bilangan Real

1. (q+r)A=qA+rA
2. r(A+B)=rA+rB
3. p(qA)=(pq)A

• Perkalian matriks  alt="Jika A=\begin{bmatrix} a b \\ c d \end{bmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=Jika+A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+a+b+%5C%5C+c+d+%5Cend%7Bbmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="Jika A=\begin{bmatrix} a b \\ c d \end{bmatrix}" /> dan  alt="Jika B=\begin{bmatrix} p q \\ r s \end{bmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=Jika+B%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+p+q+%5C%5C+r+s+%5Cend%7Bbmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="Jika B=\begin{bmatrix} p q \\ r s \end{bmatrix}" />

  alt="Maka AB=\begin{bmatrix} ap+br aq+bs \\ cp+dr cq+ds \end{bmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=Maka+AB%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+ap%2Bbr+aq%2Bbs+%5C%5C+cp%2Bdr+cq%2Bds+%5Cend%7Bbmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="Maka AB=\begin{bmatrix} ap+br aq+bs \\ cp+dr cq+ds \end{bmatrix}" />

• Sifat-sifat Perkalian matriks

1. Assosiatif: (AB)C=A(BC)
2. Distribusi kiri: A(B+C)=AB+AC
3. Distribusi Kanan: (B+C)A=BA+CA

Invers dan determinan matriks Ordo 2×2

• Jika, A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama dam AB=BA=I, maka A disenut invers B, ditulis  alt="A=B^{-1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%3DB%5E%7B-1%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="A=B^{-1}" />, dan B disebut invers A, ditulis  alt="B=A^{-1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=B%3DA%5E%7B-1%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="B=A^{-1}" />
• Determinan Matriks Ordo 2×2

alt="Jika A=\begin{bmatrix} a b \\ c d \end{bmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=Jika+A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+a+b+%5C%5C+c+d+%5Cend%7Bbmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="Jika A=\begin{bmatrix} a b \\ c d \end{bmatrix}" />, maka  alt="det A = \begin{vmatrix} a b \\ c d \end{vmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=det+A+%3D+%5Cbegin%7Bvmatrix%7D+a+b+%5C%5C+c+d+%5Cend%7Bvmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="det A = \begin{vmatrix} a b \\ c d \end{vmatrix}" /> = ad-bc

dan  alt="det A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d -b \\ -c a \end{bmatrix}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=det+A%5E%7B-1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bad-bc%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+d+-b+%5C%5C+-c+a+%5Cend%7Bbmatrix%7D&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="det A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d -b \\ -c a \end{bmatrix}" />,dengan  alt="Det A \neq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=Det+A+%5Cneq+0&bg=ffffff&fg=242424&s=0" title="Det A \neq 0" />