Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempat dengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama
terdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5 bungkus, pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus. Jika dirata-rata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah 29 /5 = 5,8 dan dikatakanhampir mendekati 6.
Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali kamu temukan kata-kata hampir, mendekati, harga batas, dan sebagainya.Pengertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus. Untuk lebih jelasnya, dalam bab ini kamu akan mempelajari konsep limit fungsi dalam pemecahan masalah.
Bagaimana? Masihkah kalian bingung mengenai Materi, Soal dan Pembahasan Lengkap Limit Matematika ? jika kalian masih bingung mengenai hal ini , maka sebaiknya di baca dan di pelajari dahulu limit matematika. Tapi, tenang saja, untuk menambah ilmu pengetahuan kalian mengenai Limit matematika, saya akan memberikan beberapa pengetahuan, yaitu
Sifat limit fungsi matematika,
src="https://1.bp.blogspot.com/-CASCSPsTQys/TdNVF9G395I/AAAAAAAAAEo/xxsrnIOqKLo/s1600/limit-sifat.jpg" />
Limit ln log dan bilangan e
src="https://1.bp.blogspot.com/-oQ2l3FF193I/TdNVTeAG01I/AAAAAAAAAEs/vpgABmqeHtk/s1600/limit-ln-x.jpg" />
Limit trigonometri sederhana, sin x dan tan x saja yang bisa dipakai
src="https://4.bp.blogspot.com/-PMxmerBlr7w/TdNVUZjlB7I/AAAAAAAAAEw/z2TtWob-oz8/s1600/limit-trigonometri.jpg" />
Cara menyelesaikan limit sederhana dengan menghilangkan faktor (x-a), dalil L’Hopital, dan mengalikan akar sekawan
src="https://1.bp.blogspot.com/-v_7tzp-HE40/TdNVVZ2N8XI/AAAAAAAAAE0/lCOzY3Yh_9o/s1600/penyelesaian-limit.jpg" />
Nanti saya update lagi ya, masih kurang lengkap nih limit
Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.
Contoh: Perhatikan fungsi
alt="" src="https://lh5.googleusercontent.com/proxy/_h2lrmbb321VCjKzJdeibGb1l8ggVv_6J1RQ7HPm7Pv993XWwubXdONQlxJYM_dg4i09LpnVuYQ--yxWlvZjKNrSnZOH8UwrZplkEd0jjTZIGA-MtjotOp4=s0-d" title="Picture1" />
untuk nilai x yang mendekati 1
|
x
|
0
|
0,9
|
0,95
|
0,98
|
…
|
1,0001
|
1,0005
|
1,05
|
1,1
|
|
f(x)
|
1
|
1,9
|
1,95
|
1,98
|
…
|
2,0001
|
2,0005
|
2,05
|
2,1
|
Gambar grafiknya:
alt="" src="https://lh4.googleusercontent.com/proxy/K1kYrbLTmYxqGrJbSRNK6OhwiIRVZW5mazTjvigkcG8uLQGTmCd8Av01w52AovT8v6DQwHr3pWHDP9rzTLhIm2z4dfITI_D8TB6sxf5ls175wci2M4w=s0-d" style="height:268px; width:400px" title="grafik" />
Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:
→ Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2
alt="" src="https://lh3.googleusercontent.com/proxy/FscC6oty2U9hsBLqX8V2hckJntz_nZjCcuJUEijbLgssLEwp57-jy4v0MYuew02OacVy2mQk-vtEWSEu7GTmIonFijbw9PvJ9Vj0Q-5OBbMJ-IGYl5XHurQ=s0-d" title="Picture2" />
→ Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2
alt="" src="https://lh5.googleusercontent.com/proxy/HMQwrk_jiwSBIjU4DdkmCJFxOYLfnFcMUCfdka4fXKjtDNw6L_Ubz2_f4PnrhSBE1uruUzDmuc61IIujHxsYjDPJFnWCfKvB_2iojayeTplqudl-tbVVuH0=s0-d" style="height:35px; width:100px" title="Picture3" />
→ Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2
alt="" src="https://lh4.googleusercontent.com/proxy/D4csi5L8yy_3jith3-gbN7kDqQI42zmSTntu8NGgsLbg_fLpBqa_hchw9cPV1hVFos5Zni9fz0rNI0PhWca40jKS1t2zRhDBfCZp7UJbZ9_0TYxI_A1yM-w=s0-d" style="height:55px; width:100px" title="Picture4" />
Teorema:
alt="" src="https://lh4.googleusercontent.com/proxy/w9r41-5MsKV4YszGg0JljIP0jg-JoyML9pb0JtgF-uf2T6jEOCilURu7dSw7SCSHVQvpieLCbwMp02JjLTywtR3mVoT8SqTh_nI86joSN0k5IaRSU5w8WAo=s0-d" title="Picture5" />
Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada
Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:
alt="" src="https://lh5.googleusercontent.com/proxy/unpM0ESoH58PfjJegneiffRzSCO9ZEwYgN9XIbDR7CiPPNmqhsNEntp6gYUMyVxdx9VD3X5BpPumem3O2X54wGFiNbC_82_CI8Ssk7mcsFWoufntK6Z8cGE=s0-d" title="Picture6" />
Sifat-Sifat Limit
alt="" src="https://lh4.googleusercontent.com/proxy/PyDquSR5z26g9gkLu8wgXD-8c-bcLZRde55FqwzzN23ydeaHIj8gQ_OzMgGGCZvJV83mCE2fHFqcWBH5q5Mc-70xlVatV-eIeMZGivz_6lNxM2BUNg=s0-d" title="sifat" />
Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:
1. Substitusi langsung
Contoh:
alt="" src="https://lh5.googleusercontent.com/proxy/zv6AcbZ8k_LcZ5F6asHRwMsWPIc_Wn2oZBaKMN8VpS108ArJTMrw17cgu68kT7BMgD3bK8ulsQFL13bN7219jC6Z6jsYGf10nr8_q_3VuUTAraivGmTriDA=s0-d" title="Picture7" />
2. Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)
Contoh:
alt="" src="https://lh5.googleusercontent.com/proxy/fRpb4NaRAPWeZ3bYEyACWW1qTyiPui268hvIi9_BGBkN5VjRmxo0prYC1YOKMwiPcALuMjv6IFhbsJUH1F1Q1cZCT8GNZFpw0MditnNZ3XNJGLNZEyAq1eA=s0-d" title="Picture8" />
Ingat:
(a2 – b2) = (a – b)(a + b)
(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)
(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)
3. Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)
Contoh:
alt="" src="https://lh6.googleusercontent.com/proxy/l9whp6PnHcrnJi8l68wEEyDNi9QYXe0QH_EudEAiwg_Lc-rw4ajC1q0qe8Sgq2-s5AybK5rQ3H_OCd-fmpZoZE5YhooN_CYR7TwnM48ze9sih-VUFVwPGZu9VlQ62Q=s0-d" style="height:42px; width:500px" title="Picture9" />
4. Untuk limit tak terhingga:
→ Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi
→ Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi
Sifat operasi dengan ∞:
alt="" src="https://lh3.googleusercontent.com/proxy/AtVX36BqV8YI1n_uG_ahkILUtGI8G674J8JknIZoGeiUVX9rq4GArkzrM9SyjtlON_osSu8f8PqLPFEgu1JCQOLF0UUzVym2mIT0bqXRpobyciEXx6CWT94=s0-d" title="takhingga" />
Contoh:
alt="" src="https://lh6.googleusercontent.com/proxy/PgGZqUoYF7K0aZ7Ah8LrD2gjjUgzSxlPFVbt3b5VTVoXttgyEF1LLzmNEMPyjtB8NS0ibymRRh5O-LZBoQHeP6YfPO91o7CjbgwvFrHZFg64k-QFZ3Baga_d=s0-d" title="Picture10" />
alt="" src="https://lh5.googleusercontent.com/proxy/hoEtClCapwOKi6exOCDYqxCtuqPmqkn8WAiZpJbjaq8fQY6yWzJ0ltP0-4-6n81ZNnyTnnsD3awQLNhxlgn7lsnIhTYOumTBeP4LROPMv5RepldwPpsS1NN56IvD1-ZY=s0-d" style="height:192px; width:500px" title="Picture11" />
Cara cepat!
→ Untuk bentuk pecahan:
-
Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞
-
Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
-
Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat tertinggi atas : koefisien pangkat tertinggi bawah
Contoh 1:
alt="" src="https://lh5.googleusercontent.com/proxy/tDbtHZ0IpA37H0StJ5U-iCK4qZp3Xv89-qDt5NhCuzcLQTMLkhOqYprIs61nyiAakNscg_CTUMtXMJuuPojJa-BCI4hpBX1zGxOpk83g5jp4DGIi6mfttoc2=s0-d" title="Picture12" />
Contoh 2:
alt="" src="https://lh3.googleusercontent.com/proxy/5UNW353_rEkaOhUPwW8a3NguST03TlbS8ztmEolG8lwzEynwpXrTt9I3ocaUbXLI5vwzNJyjw1IQOLnvfNLER1kp4dEeZQc0tDzv3tq1_jLJPK2UJcIss8Lu=s0-d" title="Picture13" />
Contoh 3:
alt="" src="https://lh4.googleusercontent.com/proxy/6BVRsPPcuugItlqrzY8jnhqlo_13R8tdwTUUL9sQWCz2eJ0Tb64PD5vI0IUo6vnU_zgfab1n9qde5V8ql_gWrpj9b7Tr8qN7DPsbsLhBTBoa3x9bpKq1jW1I=s0-d" title="Picture14" />
→ Untuk bentuk alt="" src="https://lh4.googleusercontent.com/proxy/CvVV8nWg3e3CPrIf0Qt5TywS3y8kOipageqdMl4jhC0PmF23ldkPNtzLr9xmDuaX3A2UMauIV6tll78ih-x7DVuU340VtpEcuLuiuW7WS7E-2nVN-IvzQLY=s0-d" title="Picture15" />
Contoh:
alt="" src="https://lh3.googleusercontent.com/proxy/qWW1fNd-FyTH1MBoYCL1hUOSZoWWFsZXbJ-BfQGQOmweKoLxHMQkAfAAAZDyImY4NOtuNVhpJejNI0xkrvGI74pB36raoKqxNbaPigQBspYVUJPfoAqCMavXvNQswQ=s0-d" style="height:69px; width:500px" title="Picture16" />
5. Limit trigonometri:
alt="" src="https://lh6.googleusercontent.com/proxy/ZEgZPOQbK8Wn971Hqr6aqaBebx8fVwpN7kK1EmWi1PQK1EU_1Obes3Tmze3OEjnbfhLhu7cXUSzQOGA85a04K_3qHI7ByIfk_zC36NbD8vVzQCHpmQ3_=s0-d" title="trigono" />
Untuk cosinus:
1 – cos ax = 2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)
cos ax – 1 = –2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)
1 – cos2ax = sin2ax (dari sin2x + cos2x = 1)
Bilangan e
Bilangan e didapat dari:
alt="" src="https://lh3.googleusercontent.com/proxy/FsgYJ2gwYpgDazxKdWRRHpOczxPnCc5mxsjb2iQQtOVd2hfiAGWdbHs2UWnKd24Afc3zg7U7dR2jZQT4C7aDNi6Xno3VFfgbpZb8b-i6lzu8kb7W8AJzEa8=s0-d" title="Picture17" />
e = 2,718281828…
Rumus-rumus pengembangannya:
alt="" src="https://lh4.googleusercontent.com/proxy/zh2W1bFnlgV_3YWRDDXCuv-uOp_7RtE_PJlkDSHO4xczU0UQPKDcKQZe7cO0n3WyOe4_C1balqyPSfa65cPlf950JChoYdtGXeUxOXU-KYQQz2n80a-ubUo=s0-d" title="Picture18" />
Kontinuitas
Suatu fungsi kontinu di x = a jika:
1. f(a) ada (dapat dihitung/real)
2. alt="" src="https://lh4.googleusercontent.com/proxy/FSREIXkzb_CCY2JdL79hGHKc42cKQcBLDTcFofUNUIxCRH_LgbHPpONLi8TwyIFGfvVhwIVlXMJ3p9YE7LrU_ONCCQ9431J3ixpolE-NRf7LRsghh6KS3p8=s0-d" title="Picture19" />
3. alt="" src="https://lh4.googleusercontent.com/proxy/hXCZZZe1D_abUpk2q0PL-4G0ezILGKzTUQCpkZhYtSQz5UF24qz7DEMTUfuzahoDlXld08P0L25AM2XQQ9AjW1aymeleNVerSXbSGftV5aUxA7YYUgnbSuw=s0-d" title="Picture20" />
Ilustrasi:
alt="" src="https://lh4.googleusercontent.com/proxy/A50L2p5tC9GOW1-qsRB-IJC7MDKtid_h93IV-xlTmQeVC_KwC4eQgkW8yRMfjmuQtJL7IDZaK-CSp1oLJzSqhSaPI_Ku7G00qBSIIspprLyPuEIfRy-k=s0-d" title="kontinu" />
Simak pembahasan selengkapnya video di bawah ini !
