Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Oleh : Cinta Silvia - 10 February 2022 10:00 WIB

Cara yang dapat digunakan untuk mengetahui luas daerah yang dibatasi kurva adalah dengan munggunakan integral. Proses yang perlu dilakukan adalah menggambarkan kurva, menentukan batas integral, dan kemudian menentukan serta menghitung nilai integralnya.

Pada kasus soal tertentu, cara tersebut dianggap lama karena ada rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Untuk jenis soal tertentu, hanya perlu menggunakan rumus diskriminan dari persamaan kuadrat untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva. Sebelumnya, perhatikan persamaan kuadrat dan rumus diskriman untuk mengingatkan kembali sedikit materi persamaan kuadrat.

Baca juga: Matematika Kelas 12 | Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral

alt="Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva" src="http://idschool.net/wp-content/uploads/2018/03/Rumus-Cepat-Menghitung-Luas-Daerah-yang-Dibatasi-Kurva-e1520396317465.png" style="height:159px; width:400px" />

Jika diberikan persamaan kuadrat yang memiliki bentuk umum  alt="ax^{2}+bx+c = 0" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41ea77a4f7e5e17191c9c4380f603458_l3.svg" style="height:15px; width:105px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" /> maka nilai diskriminannya dapat diperoleh dengan menggunakan rumus  alt="D=b^{2} - 4ac" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-08d6afea29ccc8674f2c239c485254c6_l3.svg" style="height:14px; width:84px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />.

Selain dapat digunakan pada rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva, diskriminan juga dapat digunakan untuk menyelidiki suatu kurva apakah memotong sumbu x di dua titik, memotong sumbu x di suatu titik, atau tidak memotong sumbu x.

Nilai diskriminan juga dapat digunakan untuk menyelidiki apakah gambar kurva terbuka ke atas atau ke bawah.

Rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva adalah sebagi berikut.

alt="Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva" src="http://idschool.net/wp-content/uploads/2018/03/Rumus-Cepat-Menghitung-Luas-Daerah-yang-Dibatasi-Kurva-1-e1520396371921.png" style="height:277px; width:400px" />

Rumus di atas diperoleh dengan menggunakan konsep limit dan integral. Kita akan mencoba menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva di atas pada tipe-tipe soal tertentu.

Sebelumnya, kita akan mengerjakan contoh soal menghitung nilai luas yang dibatasi kurva dengan cara runut terlebih dahulu. Selanjutnya, kita akan membandingkan hasil keduanya.

Baca juga: Cara menghitung Volume benda putar

Salah satu tipe soal yang dapat dikerjakan menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva adalah sebagai berikut.

Luas daerah yang dibatasi oleh  alt="y=x^2 - 16" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a8b2f3c8cb72f0e035fbf8f33dc179c_l3.svg" style="height:16px; width:73px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" /> dan sumbu x adalah … satuan luas.

Cara I

Pertama, akan dikerjakan soal yang diberikan diatas dengan cara runut.

Gambar dari persamaan kuadrat  alt="y = x^{2} - 16" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a593bb1fbd875384d6588438c4235235_l3.svg" style="height:16px; width:73px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" /> terlebih dahulu. Kemampuan menggambar kurva persamaan kuadrat sangat diperlukan di sini.

alt="luas daerah yang dibatasi kurva" src="http://idschool.net/wp-content/uploads/2018/03/Luas-Daerah-yang-Dibatasi-Kurva-e1520396522893.png" style="height:417px; width:400px" />

Luas daerah yang dibatasi kurva ditunjukkan oleh bagian yang diarsir. Batas integralnya adalah  alt="-4" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28bc018e9c63083715ade68184b5b389_l3.svg" style="height:12px; width:17px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" /> dan 4. Sehingga, luas daerah yang dibatasi kurva  alt="y = x^{2} - 16" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a593bb1fbd875384d6588438c4235235_l3.svg" style="height:16px; width:73px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" /> adalah seperti berikut.

   alt="\[ L = \int_{-4}^{4} \left( x^{2} - 16 \right) dx \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2e598e5fb4a96e9aa5d9252d8d3eaaf_l3.svg" style="height:37px; width:134px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \left[ \frac{1}{3} x^{3} - 16x \right]_{-4}^{4} \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a30de453aa1883813552f55cc8ca860_l3.svg" style="height:39px; width:125px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \left( \frac{1}{3}(4)^{3} - 16(4) \right) - \left( \frac{1}{3}(-4)^{3} - 16(-4) \right) \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-163d02e73ee51c876774322d387f8e04_l3.svg" style="height:36px; width:282px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \left( \frac{1}{3} \times 64 - 64 \right) - \left( \frac{1}{3} \times (- 64) + 64 \right) \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8c5eced08861ac5ad9e3a7051c9eab9_l3.svg" style="height:36px; width:260px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \frac{64}{3} - 64 + \frac{64}{3} - 64 \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-50cecc05cc360a73866836e69b73b6ce_l3.svg" style="height:31px; width:147px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \frac{128}{3} - 128 \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-59a68e11c9b8786ec1c4a9fab4046fb3_l3.svg" style="height:31px; width:93px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = - \frac{384}{3} + \frac{128}{3} \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-80186fca30076de6fc4b9ea74a77e40f_l3.svg" style="height:31px; width:107px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = - \frac{256}{3} = - 85 \frac{1}{3} \; \textrm{sat. luas}\]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-397379c7ff2e2f12e248879466555a98_l3.svg" style="height:31px; width:180px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva  alt="y = x^{2} - 16" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a593bb1fbd875384d6588438c4235235_l3.svg" style="height:16px; width:73px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" /> dengan sumbu x adalah 52 satuan luas. Tanda negatif menunjukkan bahwa daerah luas berada di bawah sumbu x.

Selanjutnya, kita akan mencari luas daerah tersebut menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Cara II

Kedua, akan dikerjakan soal yang diberikan diatas dengan rumus cepat cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Persamaan kuadrat yang diberikan adalah  alt="y = x^{2} - 16" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a593bb1fbd875384d6588438c4235235_l3.svg" style="height:16px; width:73px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />, sehingga diperoleh informasi nilai-nilai berikut.

   alt="\[ a = 1 \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea498a3663a3dc4a0955095b47b5696a_l3.svg" style="height:12px; width:34px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ b = 0 \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d5768bd77d200fd698dfecef199a541_l3.svg" style="height:11px; width:33px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ c = - 16 \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-469ce8a824b53f1b8562d9e67d1c8410_l3.svg" style="height:12px; width:51px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

Sehingga, luas daerah yang dibatasi kurva tersebut adalah

   alt="\[ L = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-418dc8926b3b308934f5550e4039efb5_l3.svg" style="height:33px; width:69px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \frac{b^{2} - 4ac}{6a^{2}} \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bcc6040c9c51de5dd5928802a759dc06_l3.svg" style="height:33px; width:83px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \frac{\left( 0^{2} - 4(1)(-16) \right) \sqrt{0^{2} - 4(1)(-16)}}{6 \times 1^2} \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d38f5b631f24d56e20b3d36562fea02e_l3.svg" style="height:35px; width:251px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \frac{64 \sqrt{64}}{6} \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec4d71f75cec2a7c71c32b754b238da2_l3.svg" style="height:33px; width:73px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \frac{64 \times 8}{6} \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c7901871ced37503ef2b429557e5319_l3.svg" style="height:31px; width:71px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \frac{512}{6} = 85 \frac{1}{3} \; \textrm{sat. luas} \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-943965d8b6e0e55482384fcb9a8a2977_l3.svg" style="height:31px; width:157px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

Selesai, diperoleh luas yang sama untuk kedua cara.  Tapi ingat rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva ini hanya berlaku pada tipe-tipe soal tertentu, tidak berlaku untuk semua tipe soal mencari luas daerah yang dibatasi kurva.

Contoh lain untuk tipe soal yang dapat menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi integral adalah sebagai berikut.

Luas daerah yang dibatasi kurva  alt="f(x) = x^{2} - x - 6" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fe64d5fc97860afa04008fbdd507804_l3.svg" style="height:17px; width:113px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" /> adalah ….

Kita akan langsung menghitung luas daerah yang dibatasi kurva  alt="f(x) = x^{2} - 2x + 1" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb5fabbbef7243cb40650888bc0ea3d0_l3.svg" style="height:17px; width:120px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" /> menggunakan rumus cepat.

Mencari nilai determinan

   alt="\[ D = b^{2} - 4ac \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-646af9c490ac8b87ac9d2520c7b90ef6_l3.svg" style="height:15px; width:84px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ D = (-1)^{2} - 4\cdot 1 \cdot -6 \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c7000216482e2f2668d6e22129877942_l3.svg" style="height:18px; width:139px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ D = 1 + 24 = 25 \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da999215921b7101c9785993ed9b2271_l3.svg" style="height:13px; width:105px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

Mencari luas daerah yang dibatasi kurva:

   alt="\[ L = \frac{D \sqrt{D}}{6a^{2}} \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b2d014af50c5f4ce2cb75989921c0c8_l3.svg" style="height:33px; width:69px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \frac{25 \sqrt{25}}{6 (1)^{2}} \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb45ad2ba2d9b50c5d5c339a9f87f62e_l3.svg" style="height:37px; width:73px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \frac{25 \times 5}{6} \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ce8964bb48222fac573f64d1bfe347b_l3.svg" style="height:31px; width:71px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

   alt="\[ L = \frac{125}{6} = 20 \frac{5}{6} \; \textrm{sat. luas} \]" src="http://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e61809c0ddc1d18ea87c47cee2b11b27_l3.svg" style="height:31px; width:157px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />

Catatannya adalah, rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva ini dapat digunakan jika diketahui suatu persamaan kuadrat dan luas daerah yang akan dicari dibatasi oleh persamaan kuadrat tersebut dan sumbu x.

Sekian pembahan mengenai rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva. 

Tag

Artikel Terkait

Kuis Terkait

Video Terkait

Cari materi lainnya :