Bentuk umum atau bentuk baku dari persamaan kuadrat dalam x adalah ax²+bx+c = 0 dengan a≠0 serta a,b,c ∈ R (bilangan real atau bilangan nyata). Dalam bentuk umum persamaan kuadrat ax²+bx+c = 0, dalam hal ini a tidak boleh 0 (a≠0), akan tetapi b dan c boleh nol.
Contoh :
4x²+8x-15 = 0, maka nilai a = 4, b = 8 dan c = -15
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
1. Akar Persamaan Kuadrat
Akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat ax²+bx+c = 0 merupakan pengganti variabel x sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat benar.
contoh :
Pada persamaan x²+3x-10 = 0, variabel x kita ganti sebagai berikut :
i) x diganti dengan 2, maka x²+3x-10 = 2²+3(2)-10 = 4+6-10 = 0
ii) x diganti dengan -5, maka x²+3x-10 =(-5)²+3(-5)-10=25-15-10=0
Maka, x1=2 dan x2 = -5 merupakan akar-akar dari persamaan x²+3x-10 = 0.
2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
a. Kalimat terbuka p×q = 0
Jika p×q = 0, maka p = 0 atau q = 0. Kata atau disini memiliki arti salah satu bernilai nol atau kedua-duanya bernilai nol.
b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, ditempuh langkah-langkah berikut ini.
- Persamaan harus dinyatakan dalam bentuk umum sehingga salah satu ruasnya adalah nol, yaitu ax²+bx+c = 0 atau 0 = ax²+bx+c.
- Bentuk ax²+bx+c difaktorkan, selanjutnya dicari nilai x dengan menggunakan sifat : jika p×q = 0, maka p = 0 atau q = 0. Contoh : x²+3x-10 = 0 ⇔ (x-2) (x+5) = 0 ⇔ x-2 = 0 maka x = 2 atau x+5 = 0 maka x = -5
3. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
a. Akar dari persamaan
Jika x² = q, maka x = ±√q
contoh :
x² = 16 ⇔ x = ±√16
⇔ x = ± 4
akar-akar persamaanya adalah x1 = 4 dan x2 = -4
b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ax²+bx+c = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna, ditempuh langkah-langkah berikut ini.
1). Koefisien x² yaitu a harus 1, atau dibuat menjadi 1.
2). Persamaan dinyatakan dalam bentuk x²+mx = n
3). Kedua ruas persamaan ditambah dengan (½ koefisien x)².
4). Persamaan dinyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna, yaitu (x+p)² = q.
5). Nilai x dicari dengan menggunakan sifat (x+p)² = q ⇔ x+p = ±√q.
Baca Juga :
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Persamaan Kuadrat
Kedudukan Garis Terhadap Hiperbola
Rumus Fungsi Persamaan Kuadrat Matematika.
Contoh :
x² + 3x = 10
⇔ x²+3x+(1,5)² = 10+(1,5)²
⇔ (x+1,5)² = 12,25
⇔ x+1,5 = ± √12,25
⇔ x+1,5 = ± 3,5
⇔ x = -1,5±3,5
⇔ x1 = -1,5 + 3,5 dan x2 = -1,5 – 3,5
⇔ x1 = 2 x2 = -5
akar-akar persamaan x² + 3x = 10 adalah x1 = 2 dan x2 = -5
4. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus, ditempuh langkah-langkah berikut ini.
1). Persamaan harus dinyatakan dengan bentuk umum atau bentuk baku persamaan kuadrat, yaitu ax²+bx+c = 0.
2). Dari persamaan ax²+bx+c = 0, tentukanlah nilai a, b, dan c.
3). Dengan cara mengganti nilai a, b dan c, gunakan rumus penyelesaian persamaan kuadrat atau rumus abc berikut ini.
Menyusun Persamaan Kuadrat
Menyusun persamaan kuadratartinya membentuk persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui. Apabila akar-akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2 maka persamaan kuadratnya disusun dengan menggunakan rumus berikut :
(x-x1)(x-x2) = 0
contoh :
Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah x1 = 3 serta x2 = 4, maka persamaan kuadratnya ditentukan dengan cara berikut ini.
(x-x1) (x-x2) = 0
⇔ (x-3) (x-4) = 0
⇔ x²-4x-3x+12 = 0
⇔ x² – 7x +12 = 0
Jadi persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 = 3 dan x2 = 4 adalah x² – 7x +12 = 0.
Menyelesaikan Soal Cerita
Dalam menyelesaikan soal-soal cerita yang berkaitan dengan persamaan kuadrat, ditempuh langkah-langkah berikut ini.
1). Salah satu hal yang belum diketahui atau ditanyakan dimisalkan dengan x (atau variabel lainnya), kemudian hal yang lainnya dinyatakan dalam bentuk kalimat matematika (kalimat terbuka) yang memuat x.
2). Bentuklah persamaan dalam x, kemudian selesaikanlah.
3). Pilihlah penyelesaian atau akar yang memenuhi (mungkin hanya satu penyelesaian, mungkin juga kedua-duanya).
catatan :
Tidak semua soal cerita yang berkaitan dengan persamaan kuadrat memerlukan permisalan.
Demikianlah penjelesana bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat, semoga bermanfaat.