Sistem Koordinat Dalam Ruang 3 Dimensi

Mungkin sampai saat ini, kita telah memberikan perhatian utama pada sistem koordinat dua dimensi. Akan tetapi dalam mempelajari kalkulus kita akan memerlukan sistem koordinat tiga dimensi.

Sebelum memperluas konsep vektor ke dalam tiga dimensi, kita harus mampu untuk mengidentifikasi titik-titik dalam sistem koordinat tiga dimensi. Kita dapat membangun sistem ini dengan membuat sumbu-z yang memotong tegak lurus sumbu-xdan sumbu-z pada titik asal, seperti yang ditunjukkan Gambar 1. Jika kita memasangkannya, sumbu-sumbu tersebut akan membentuk tiga bidang koordinat: bidang-xy, bidang-xz, dan bidang-yz. Ketiga bidang koordinat ini akan memisahkan ruang menjadi delapan oktan. Oktan pertama berisi titik-titik yang semua koordinatnya positif. Dalam sistem tiga dimensi ini, suatu titik P dalam ruang ditentukan dengan tripel berurutan (x, y, z), dimana x, y, dan z dijelaskan sebagai berikut.

• x = jarak langsung dari bidang-yz ke P
• y = jarak langsung dari bidang-xz ke P
• z = jarak langsung dari bidang-xy ke P

Beberapa titik ditunjukkan dalam Gambar 2 berikut.

Sistem koordinat tiga dimensi dapat berorientasi tangan kanan atau tangan kiri. Untuk menentukan orientasi sistem tersebut, bayangkan kita berdiri pada titik asal, dengan kedua tangan menunjuk ke sumbu-x positif dan sumbu-y positif, dan sumbu-z menunjuk ke atas, seperti yang ditunjukkan Gambar 3. Apakah sistem tersebut berorientasi tangan kanan atau tangan kiri bergantung pada tangan mana yang menunjuk sumbu-x. Pada pembahasan ini, kita akan menggunakan sistem yang berorientasi tangan kanan.

Banyak rumus-rumus yang diperoleh dari koordinat dua dimensi dapat diperluas ke tiga dimensi. Sebagai contoh, untuk menentukan jarak antara dua titik dalam ruang, kita dapat menggunakan Teorema Pythagoras dua kali, seperti yang ditunjukkan Gambar 4. Dengan melakukan ini, kita akan memperoleh rumus jarak antara dua titik (x₁, y₁, z₁) dan (x₂, y₂, z₂).