Prinsip Induksi Matematika, Contoh Soal dan Pembahasan

Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku dalam matematika. Melalui induksi Matematika, kita dapat mengurangi langkah pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematis hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah. Prinsip induksi matematika memiliki efek domino (jika domino disusun berjajar dengan jarak tertentu, saat satu ujung domino dijatuhkan ke arah donimo lain, maka semua domino akan jatuh satu per satu).

Prinsip 1.1 Induksi Matematika

Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini:

a. Langkah Awal (Basic Step): P(1) benar.

b. Langkah Induksi (Induction Step): Jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar, untuk setiap k bilangan asli.

Pada proses pembuktian dengan Prinsip Induksi Matematika, untuk langkah awal tidak selalu dipilih untuk n = 1, n = 2, atau n = 3, tetapi dapat dipilih sebarang nilai n sedemikian sehingga dapat mempermudah supaya proses langkah awal dipenuhi. Selanjutnya, yang ditemukan pada langkah awal merupakan modal untuk langkah induksi. Artinya, jika P(1) benar, maka P(2) benar; jika P(2) benar maka P(3) benar; demikian seterusnya hingga disimpulkan P(k) benar. Dengan menggunakan P(k) benar, maka akan ditunjukkan P(k + 1) benar. Jika P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka formula P(n) terbukti benar. Jika salah satu dari kedua prinsip tidak dipenuhi, maka formula P(n) salah. Mari kita cermati masalah berikut ini.

Contoh Soal :

Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n bilangan ganjil positif yang pertama sama dengan n2 .

Alternatif Penyelesaian:

Tentu kamu mengetahui pola bilangan ganjil positif, yaitu: 2n – 1, untuk n bilangan asli. Sedemikian sehingga akan ditunjukkan bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2 . Sebut, P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2 . Untuk membuktikan kebenaran formula P(n), kita harus menyelidiki apakah P(n) memenuhi prinsip induksi matematika, yaitu langkah awal dan langkah induksi.

a) Langkah awal:

Untuk n = 1, maka P(1) = 1 = 12 = 1.

Jadi P(1) benar.

b) Langkah Induksi:

Karena P(1) benar, maka P(2) juga benar, hingga dapat diperoleh untuk n = k,

P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) = k2 juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Akan ditunjukkan untuk bahwa untuk n = k + 1, sedemikian sehingga P(k + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2 adalah suatu pernyataan yang benar.

Karena P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) = k2 adalah pernyataan yang benar, maka 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) = k2

Jika kedua ruas ditambahkan dengan (2k + 1), akibatnya 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 .

Jadi, dengan P(k) ditemukan P(k + 1). Dengan demikian terbukti bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2 adalah benar, untuk setiap n bilangan asli.

Karena formula P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2 , memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka jumlah n bilangan ganjil positif yang pertama sama dengan n2 adalah benar, dengan n bilangan asli.

Contoh Soal 2 :

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa: 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2n = 2n + 1 – 1 untuk setiap n bilangan bulat positif.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan P(n) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2n = 2n + 1 – 1. Kali ini, sudah cukup jelas makna pernyataan yang akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika. Oleh karena itu, akan ditunjukkan bahwa pernyataan P(n) memenuhi langkah awal dan langkah induksi.

a) Langkah Awal: Untuk n = 0, diperoleh, 1 = 20 + 1 – 1. Jadi P(0) benar.

b) Langkah Induksi: Pada langkah awal diperoleh P(0) benar, akibatnya P(1) benar, 1 + 2 = 21 + 1 – 1.

Oleh karena itu disimpulkan bahwa, untuk n = k, P(k) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2k = 2k + 1 – 1. Selanjutnya akan ditunjukkan, jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga benar. Dari P(k) kita peroleh, 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2k = 2k + 1 – 1.

Kemudian kedua ruas ditambahkan 2k + 1, akibatnya 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2k + 2k + 1 = 2k + 1 – 1 + 2k+1 = 2.2k + 1 – 1 = 2(k + 1) + 1 – 1 Diperoleh bahwa P(k + 1) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2k + 1 = 2(k + 1) + 1 – 1 adalah benar, untuk setiap k bilangan bulat positif.

Karena P(n) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2n = 2n + 1 – 1 memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka formula P(n) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2n = 2n + 1 – 1 adalah benar, dengan n bilangan bulat psotif.

Baca Juga :

Kumpulan Contoh Soal Induksi Matematika