Home » Kongkow » Matematika » Kedudukan Garis Terhadap Hiperbola

Kedudukan Garis Terhadap Hiperbola

- Rabu, 02 Maret 2022 | 10:00 WIB

Hiperbola merupakan salah satu bentuk irisan kerucut. Bentuknya menyerupai kurva persamaan kuadrat dan hasil pencerminannya. Hiperbola adalah tempat kedudukan titik titik sehingga perbandingan antara jarak titik itu terhadap titik tertentu dan titik itu terhadap garis tertentu adalah tetap yaitu lebih dari satu atau eksentrisitas e > 1. titik tertentu disebut fokus dan garis tertentu disebut direktris. Bentuknya mirip dengan dua parabola yang dicerminkan.

Pembahasan kali ini tentang bentuk persamaan dan kedudukan titik pada hiperbola. Kedudukan tersebut meliputi garis tidak memotong hiperbola, garis menyinggung hipebola, dan garis memotong hiperbola di dua titik.

Gambar mengenai ketiga kedudukan garis terhadap hiperbola dapat dilihat pada gambar di bawah.

Melalui gambar di atas, dapat secara mudah melihat kedudukan garis pada hiperbola. Pada beberapa kasus soal, pertanyaan yang sering keluar merupakan persamaan hiperbola dan sebuah persamaan garis lurus. Dari sana, ditanyakan bagaimana kedudukan garis terhadap hiperbola?

Menggambar garis dan hiperbola dari persamaan yang diketahui kemudian baru melihat kedudukan garis pada hiperbola tersebut, tentu bukan hal yang menguntungkan. Pastinya, akan membutuhkan sedikit lebih banyak waktu.

Dengan alasan itu, dikenalkan cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan kedudukan garis. Cara tersebut diperoleh dengan melihat nilai diskriminan dari persamaan kuadrat, hasil substitusi persamaan garis ke persamaan hiperbola. Untuk itu, sobat idschool perlu mengetahui apa yang dimaksud diskriminan terlebih dahulu.

Diskrimnan adalah hubungan antara koefisien dalam persamaan kuadrat untuk mencari hubungan kedudukan garis terhadap parabola. Jika diketahui persamaan kuadrat $y = ax^{2} + bx + c$ maka nilai diskriminannya dapat diperoleh melalui rumus $D = b^{2} - 4ac$ .

Selanjutnya, ikuti langkah-langkah berikut untuk menentukan kedudukan garis terhadap hiperbola dengan melihat nilai diskriminannya.

Langkah-langkah menentukan kedudukan garis terhadap hiperbola:

Substitusi persamaan garis lurus ke dalam persamaan hiperbola sehingga diperoleh persamaan kuadrat.
Menentukan nilai diskriminan dari hasil persamaan kuadrat yang diperoleh.
Menyimpulkan hasilnya, apakah garis tidak memotong hiperbola, garis memotong hiperbola di satu titik, atau garis memotong hiperbola di dua titik. Kesimpulan ini diperoleh dari nilai diskriminan yang telah dihitung pada poin ke dua.

Kriteria kedudukan garis terhadap hiperbola akan dibahas secara lebih lengkap pada pembahasan di bawah. Untuk pembahasan pertama adalah kriteria garis tidak memotong hiperbola. Simak ulasan materinya pada pembahasan di bawah.

A. Garis Tidak Memotong Hiperbola

Garis dikatakan tidak memotong hiperbola jika kedudukan garis pada hiperbola tidak memiliki satupun titik potong garis pada hiperbola. Hal ini dipenuhi ketika nilai diskriminan dari persamaan kuadrat hasil substitusi persamaan garis ke persamaan hiperbola memiliki nilai kurang dari nol, D < 0.

Perhatikan gambar dan kriteria garis yang tidak memotong hiperbola seperti pada gambar di bawah.

Untuk menambah pemahaman sobat idschool akan diberikan contoh soal kedudukan garis yang tidak memotong hiperbola.

Contoh soal kedudukan garis terhadap hiperbola untuk garis tidak memotong hiperbola.

Tentukan kedudukan garis y = x - 2 pada hiperbola dengan persamaan berikut.

$\frac{ \left( x - 2 \right)^{2}}{16} - \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{9} = 1$

Jawab:

Langkah pertama yang dilakukan adalah substitusi nilai y = x – 2 pada persamaan hiperbola.

$\frac{ \left( x - 2 \right)^{2}}{16} - \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{9} = 1$

$\frac{ \left( x - 2 \right)^{2}}{16} - \frac{ \left( x - 2 - 1 \right)^{2} }{9} = 1$

$\frac{ \left( x - 2 \right)^{2}}{16} - \frac{ \left( x - 3 \right)^{2} }{9} = 1$

$\frac{ x^{2} - 4x + 4 }{16} - \frac{ x^{2} - 6x + 9}{9} = 1$

$\frac{ 9 \left( x^{2} - 4x + 4 \right) }{144} - \frac{ 16 \left( x^{2} - 6x + 9 \right) }{144} = 1$

$\frac{ 9x^{2} - 36x + 36}{144} - \frac{ 16x^{2} -96x + 144 }{144} = 1$

$9x^{2} - 36x + 36 - 16x^{2} + 96x - 144 = 144$

$9x^{2} - 16x^{2} - 36x + 96x + 36 - 144 - 144 = 0$

$- 7x^{2} + 60x - 252 = 0$

Berdasarkan persamaan kuadrat hasil substitusi persamaan garis ke persamaan parabola, diperoleh a = -7 , b = 60, dan c = -252 .

Nilai diskriminannya adalah

$D = b^{2} - 4ac$

$D = 60^{2} - 4 \cdot -7 \cdot -252$

$D = 3.600 - 7.056$

$D = -3.456$

Berdasarkan hasil perhitungan diskriminan di atas, dapat disimpulkan bahwa garis tidak memotong hiperbola, karena D < 0.

Untuk membuktikannya, perhatikan gambar di bawah yang merupakan gambar garis dan hiperbola sesuai dengan soal yang diberikan.

Terlihat bahwa garis tidak memotong hiperbola.

Pembahasan selanjutnya adalah kriteria garis memotong hiperbola pada satu titik. Simak ulasan yang akan diberikan pada uraian di bawah.

B. Garis Memotong Hiperbola di Satu Titik (Menyinggung Hiperbola)

Pembahasan berikutnya adalah kedudukan garis terhadap hiperbola untuk kasus garis memotong hiperbola di satu titik, atau biasa disebut dengan garis menyinggung hiperbola. Kriteria garis memotong hiperbola di satu titik dipenuhi saat nilai determinan sama dengan nol, D = 0.

Perhatikan gambar hiperbola dan garis lurus yang menyinggung di satu titik beserta dengan kriterianya.

Contoh soal kedudukan garis terhadap hiperbola untuk garis memotong hiperbola di satu titik (menyinggung elips).

Tentukan kedudukan garis x = - 2 pada hiperbola dengan persamaan berikut.

$\frac{ \left( x - 2 \right)^{2}}{16} - \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{9} = 1$

Jawab:

Langkah pertama yang dilakukan adalah substitusi nilai x = - 2 pada persamaan hiperbola.

$\frac{ \left( x - 2 \right)^{2}}{16} - \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{9} = 1$

$\frac{ \left( -2 - 2 \right)^{2}}{16} - \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{9} = 1$

$\frac{ \left( -4 \right)^{2}}{16} - \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{9} = 1$

$\frac{16}{16} - \frac{ y^{2} - 2y + 1}{9} = 1$

$1 - \frac{ y^{2} - 2y + 1}{9} = 1$

$- \frac{ y^{2} - 2y + 1}{9} = 0$

$- y^{2} + 2y - 1 = 0$

Berdasarkan persamaan kuadrat hasil substitusi persamaan garis ke persamaan parabola, diperoleh a = -1 , b = 2, dan c = - 1 .

Nilai diskriminannya adalah

$D = b^{2} - 4ac$

$D = 2^{2} - 4 \cdot -1 \cdot - 1$

$D = 4 - 4$

$D = 0$

Berdasarkan hasil perhitungan diskriminan di atas, dapat disimpulkan bahwa garis memotong hiperbola di satu titik, karena D = 0.

Untuk membuktikannya, perhatikan gambar di bawah. Gambar ini berdasarkan soal yang sama dengan pembahasan di atas.

Terlihat bahwa garis menyinggung hiperbola di satu titik, dengan kata lain garis menyinggung hiperbola.

Pembahasan yang terakhir akan dibahas melalui halaman ini adalah garis memotong hiperbola di dua titik. Simak ulasan lebih jelasnya di bawah.

C. Garis Memotong Hiperbola di Dua Titik

Sebuah garis dikatakan memotong hiperbola di dua titik jika memiliki dua titik yang sama-sama dilalui garis lurus dan hiperbola. Kondisi ini dapat dilihat dari nilai diskriminannya yang lebih dari nol, d > 0. Ilustrasi gambar garis lurus yang memotong hiperbola di dua titik berserta kriterianya dapat dilihat pada gambar di bawah.

Contoh soal kedudukan garis terhadap hiperbola untuk garis memotong hiperbola di dua titik.

Tentukan kedudukan garis y = x + 3 pada hiperbola dengan persamaan berikut.

$\frac{ \left( x - 2 \right)^{2}}{16} - \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{9} = 1$

Jawab:

Langkah pertama yang dilakukan adalah substitusi nilai y = x + 3 pada persamaan hiperbola.

$\frac{ \left( x - 2 \right)^{2}}{16} - \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{9} = 1$

$\frac{ \left( x - 2 \right)^{2}}{16} - \frac{ \left( x + 3 - 1 \right)^{2} }{9} = 1$

$\frac{ \left( x - 2 \right)^{2}}{16} - \frac{ \left( x + 2 \right)^{2} }{9} = 1$

$\frac{ x^{2} - 4x + 4 }{16} - \frac{ x^{2} + 4x + 4 }{9} = 1$

$\frac{ 9 \left( x^{2} - 4x + 4 \right) }{144} - \frac{ 16 \left( x^{2} + 4x + 4 \right) }{144} = 1$

$\frac{ 9x^{2} - 36x + 36}{144} - \frac{ 16x^{2} + 64x + 64 }{144} = 1$

$9x^{2} - 36x + 36 - 16x^{2} - 64x - 64 = 144$

$-7x^{2} - 100x - 28 = 144$

$-7x^{2} - 100x - 28 - 144 = 0$

$-7x^{2} - 100x - 172 = 0$

$7x^{2} + 100x + 172 = 0$

Berdasarkan persamaan kuadrat hasil substitusi persamaan garis ke persamaan parabola, diperoleh a = 7, b = 100, dan c = 172.

Nilai diskriminannya adalah

$D = b^{2} - 4ac$

$D = 100^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 172$

$D = 10.000 - 4.816$

$D = 5.184$

Berdasarkan hasil perhitungan diskriminan di atas, dapat disimpulkan bahwa garis memotong parabola di dua titik (karena D > 0).

Untuk membuktikannya, perhatikan gambar di bawah.

Terlihat bahwa garis memotong hiperbola di dua titik.

Bagaimana ulasan materi yang diberikan? Sudah paham? Mudah bukan? Jika belum paham bisa dipahami sekali lagi pelan-pelan, pasti akan paham. Intinya, ketiga kriteria menentukan kedudukan garis terhadap parabola dirangkum dalam tiga syarat dalam tabel di bawah.

Kedudukan Garis Terhadap Hiperbola

Sekian pembahasan kedudukan garis terhadap hiperbola yang meliputi garis tidak memotong hiperbola, garis memotong hiperbola di satu titik (garis menyinggung hiperbola), dan garis memotong hiperbola di dua titik. Semoga bermanfaat.

Sumber : https://www.utakatikotak.com/kongkow/detail/10702/Kedudukan-Garis-Terhadap-Hiperbola

Kedudukan Garis Terhadap Hiperbola

Artikel Terkait