Cara penyajian, Sifat Sifat Dari Relasi dan Fungsi

Definisi Relasi dan Cara Penyajian

Pada bab sebelumnya, telah dibahas tentang Cartesian product, yaitu berupa pasangan terurut yang menyatakan hubungan dari dua himpunan. Semua pasangan terurut yang mungkin merupakan anggota dari himpunan hasil Cartesian product dua buah himpunan. Sebagian dari anggota himpunan tersebut mempunyai hubungan yang khusus (tertentu) antara dua unsur pada pasangan urut tersebut, dengan aturan tertentu. Aturan yang menghubungkan antara dua himpunan dinamakan relasi biner. Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu.

Dengan demikian relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari cartesian product A × B atau R ⊆ (A × B).

Notasi dari suatu relasi biner adalah a R b atau (a, b) ∈ R. Ini berarti bahwa a dihubungankan dengan b oleh R. Untuk menyataan bahwa suatu unsur dalam cartesian product bukan merupakan unsur relasi adalah a R b atau (a, b) ∉ R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.

Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh 2.1 :
Misalkan A = {2, 3, 4} dan B = {2, 4, 8, 9, 15}.
Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan :
(a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b

Jawab :
Seperti yang telah dipelajari sebelumnya, cartesian product A × B adalah :
A × B = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 9), (2, 15), (3, 2), (3, 4), (3, 8),
(3, 9), (3, 15), (4, 2), (4, 4), (4, 8), (4, 9), (4, 15)}
Dengan menggunakan definisi relasi diatas, relasi R dari A ke B yang mengikuti aturan tersebut adalah :
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15) }
Relasi dapat pula terjadi hanya pada sebuah himpunan, yaitu relasi pada A.. Relasi pada himpunan A merupakan himpunan bagian dari cartesian product A × A.

Baca Juga :

Pengertian Relasi, Fungsi, Domain,Kodomain dan Range

Contoh 2.2 :
Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh :
(x, y) ∈ R jika dan hanya jika x habis dibagi oleh y.

Jawab :
Relasi R pada A yang mengikuti aturan tersebut adalah :
R = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (8, 8), (8, 2), (8, 4), (3, 3), (9, 9), (9, 3)}
Cara menyatakan suatu relasi bisa bermacam-macam, antara lain : dengan diagram panah, tabel, matriks, bahkan dengan graph berarah. Berikut ini, akan dibahas satu-persatu cara
menyajikankan suatu relasi dengan cara-cara tersebut.
 

Cara menyajikan suatu relasi

a. Penyajian Relasi dengan Diagram Panah

Misalkan A = {2, 3, 4} dan B = {2, 4, 8, 9, 15}.
Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan :
(a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b
maka relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini :

b. Penyajian Relasi berupa Pasangan Terurut

Contoh relasi pada (a) dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut, yaitu :
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15)}

c. Penyajian Relasi dengan Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan
daerah hasil. Relasi pada yang dijelaskan pada bagian (a) dapat sebagai berikut :
Tabel Relasi faktor prima dari 

d. Penyajian Relasi dengan Matriks

Misalkan R merupakan relasi yang menghubungkan himpunan A = {a1, a2, …, am} dan himpunan B = {b1, b2, …, bn}. Relasi tersebut dapat disajikan dalam bentuk matriks yaitu :

Contoh 2.3 :
Misalkan A = {2, 3, 4} dan B = {2, 4, 8, 9, 15}.
Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan :
(a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b
maka relasi tersebut dapat disajikan dalam bentuk matriks yaitu :

e. Penyajian Relasi dengan Graf Berarah

Relasi pada sebuah himpunan dapat disajikankan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph). Graf berarah didefinisikan hanya untuk merepresentasikan relasi pada suatu himpunan (bukan antara dua himpuanan). Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc). Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut loop.

Contoh 2.4 :
Misalkan R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.
Relasi R dapat di sajikan dalam bentuk graf berarah yaitu :

Beberapa Sifat Relasi

Relasi yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. Sifat-sifat tersebut antara lain :

1. Refleksif (reflexive)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A. Dengan kata lain, suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.

Contoh 2.5 :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R adalah relasi ‘≤’ yang didefinisikan pada himpunan A, maka
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

Terlihat bahwa (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) merupakan unsur dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif.

Contoh 2.6 :

Misalkan A = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.
Jika kita definisikan relasi R pada himpunan A dengan aturan :
(a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b
Perhatikan bahwa (4, 4) ∉ R .
Jadi, jelas bahwa R tidak bersifat refleksif.

Sifat refleksif memberi beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu :
• Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang unsur diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

Relasi yang bersifat refleksif jika disajikan dalam bentuk graf berarah maka pada graf tersebut senantiasa ditemukan loop setiap simpulnya.
 

2. Transitif (transitive)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

Contoh 2.7 :
Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan oleh :
a R b jika dan hanya jikan a membagi b, dimana a, b ∈ A,

Jawab :
Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}

Ketika (2, 4) ∈ R dan (4, 8) ∈ R terlihat bahwa (2, 8) ∈ R.
Dengan demikian R bersifat transitif.

Contoh 2.8 :
R merupakan relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh :
R : a + b = 5, a, b ∈ A,

Jawab :
Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :
R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }
Perhatika bawa (1, 4) ∈ R dan (4, 1) ∈ R , tetapi (1, 1) ∉ R.
Dengan demikian R tidak bersifat transitif.
Sifat transitif memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu : sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh :
Jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur
berarah dari a ke c.
Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks, relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

3. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b, a) ∈ R. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈ R sementara itu (b, a) ∉ R.
Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R berlaku hanya jika a = b. Perhatikanlah bahwa istilah simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ≠ b.

Contoh 2.9 :
Misalkan R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh :
a R b jika dan hanya jika a – b ∈ Z.
Periksa apakah relasi R bersifat simetri !

Jawab :
Misalkan a R b maka (a – b) ∈ Z, Sementara itu jelas bahwa (b – a) ∈ Z.
Dengan demikian R bersifat simetri.

Contoh 2.10 :
Tunjukan bahwa relasi ‘≤’ merupakan pada himpunan Z. bersifat anti simetri

Jawab :
Jelas bahwa jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.
Jadi relasi ‘≤’ bersifat anti simetri.

Contoh 2.11 :
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.

Contoh 2.12 :
Misalkan relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } maka relasi R merupakan relasi yang simetri sekaligus relasi yang anti simetri.

Sifat simetri dan anti simetri memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian berbentuk matriks maupun graf, yaitu :

• Relasi yang bersifat simetri mempunyai matriks yang unsur-unsur di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-unsurdi atas diagonal utama, atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, n adalah : 

Relasi yang bersifat simetri, jika disajikan dalam bentuk graf berarah mempunyai ciri bahwa jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

• Relasi yang bersifat anti simetri mempunyai matriks yang unsur mempunyai sifat yaitu jika mij = 1 dengan i ≠ j, maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi anti simetri adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i ≠ j : 

• 

Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat anti simetri mempunyai ciri bahwa tidak akan pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.
Misalkan, R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh : R–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R }  

Contoh :
Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.
Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q yaitu :
(p, q) ∈ R jika dan hanya jika p habis membagi q
maka kita peroleh :
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)
R–1 merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang berbentuk :
(q, p) ∈ R–1 jika q adalah kelipatan dari p
sehingga diperoleh :
R–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }
Jika M adalah matriks yang menyajikan suatu relasi R, 

maka matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,